Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17163 / 12088
↖ ↑ ↗
← N 42.617791°
E  8.558350°		 ← 898.99 m → N 42.617791°
E  8.569336°		 →
↑
899.01 m
↓
↑
899.01 m
↓
N 42.609706°
E  8.558350°		 ← 899.10 m →
808 254 m²		 N 42.609706°
E  8.569336°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17163 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12088 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.523788452148438 y=0.368911743164062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.523788452148438 × 215)
    floor (0.523788452148438 × 32768)
    floor (17163.5)     		tx = 17163
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.368911743164062 × 215)
    floor (0.368911743164062 × 32768)
    floor (12088.5)     		ty = 12088
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17163 / 12088 ti = "15/17163/12088"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17163/12088.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17163 ÷ 215
    17163 ÷ 32768     		x = 0.523773193359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12088 ÷ 215
    12088 ÷ 32768     		y = 0.368896484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.523773193359375 × 2 - 1) × π
    0.04754638671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.14937138
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.368896484375 × 2 - 1) × π
    0.26220703125 × 3.1415926535     		Φ = 0.823747683071045
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14937138} λ = 0.14937138}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.823747683071045))-π/2
    2×atan(2.27902491600449)-π/2
    2×1.15730855360429-π/2
    2.31461710720857-1.57079632675     		φ = 0.74382078
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14937138} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.558350°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.74382078 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 42.617791°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17163 KachelY 12088 0.14937138 0.74382078 8.558350 42.617791
    Oben rechts KachelX + 1 17164 KachelY 12088 0.14956313 0.74382078 8.569336 42.617791
    Unten links KachelX 17163 KachelY + 1 12089 0.14937138 0.74367967 8.558350 42.609706
    Unten rechts KachelX + 1 17164 KachelY + 1 12089 0.14956313 0.74367967 8.569336 42.609706
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.74382078-0.74367967) × R
    0.000141109999999944 × 6371000     		dl = 899.011809999645m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.74382078-0.74367967) × R
    0.000141109999999944 × 6371000     		dr = 899.011809999645m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14937138-0.14956313) × cos(0.74382078) × R
    0.000191749999999991 × 0.735886869022593 × 6371000     		do = 898.988282757564m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14937138-0.14956313) × cos(0.74367967) × R
    0.000191749999999991 × 0.735982407913028 × 6371000     		du = 899.104996816021m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.74382078)-sin(0.74367967))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.735886869022593-0.735982407913028)×R²
    abs(0.14956313-0.14937138)×9.55388904351206e-05×R²
    0.000191749999999991×9.55388904351206e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.55388904351206e-05×40589641000000     		ar = 808253.548249802m²