Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17161 / 12083
↖ ↑ ↗
← N 42.658202°
E  8.536377°		 ← 898.40 m → N 42.658202°
E  8.547363°		 →
↑
898.44 m
↓
↑
898.44 m
↓
N 42.650122°
E  8.536377°		 ← 898.52 m →
807 214 m²		 N 42.650122°
E  8.547363°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17161 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12083 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.523727416992188 y=0.368759155273438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.523727416992188 × 215)
    floor (0.523727416992188 × 32768)
    floor (17161.5)     		tx = 17161
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.368759155273438 × 215)
    floor (0.368759155273438 × 32768)
    floor (12083.5)     		ty = 12083
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17161 / 12083 ti = "15/17161/12083"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17161/12083.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17161 ÷ 215
    17161 ÷ 32768     		x = 0.523712158203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12083 ÷ 215
    12083 ÷ 32768     		y = 0.368743896484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.523712158203125 × 2 - 1) × π
    0.04742431640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.14898788
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.368743896484375 × 2 - 1) × π
    0.26251220703125 × 3.1415926535     		Φ = 0.824706421063446
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14898788} λ = 0.14898788}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.824706421063446))-π/2
    2×atan(2.2812109515273)-π/2
    2×1.1576612004491-π/2
    2.3153224008982-1.57079632675     		φ = 0.74452607
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14898788} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.536377°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.74452607 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 42.658202°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17161 KachelY 12083 0.14898788 0.74452607 8.536377 42.658202
    Oben rechts KachelX + 1 17162 KachelY 12083 0.14917963 0.74452607 8.547363 42.658202
    Unten links KachelX 17161 KachelY + 1 12084 0.14898788 0.74438505 8.536377 42.650122
    Unten rechts KachelX + 1 17162 KachelY + 1 12084 0.14917963 0.74438505 8.547363 42.650122
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.74452607-0.74438505) × R
    0.000141020000000047 × 6371000     		dl = 898.438420000301m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.74452607-0.74438505) × R
    0.000141020000000047 × 6371000     		dr = 898.438420000301m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14898788-0.14917963) × cos(0.74452607) × R
    0.000191750000000018 × 0.735409130995527 × 6371000     		do = 898.404659232614m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14898788-0.14917963) × cos(0.74438505) × R
    0.000191750000000018 × 0.7355046821282 × 6371000     		du = 898.521388246669m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.74452607)-sin(0.74438505))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.735409130995527-0.7355046821282)×R²
    abs(0.14917963-0.14898788)×9.55511326727887e-05×R²
    0.000191750000000018×9.55511326727887e-05×6371000²
    0.000191750000000018×9.55511326727887e-05×40589641000000     		ar = 807213.700815002m²