Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17160 / 16159
↖ ↑ ↗
← N  2.471157°
E  8.525391°		 ← 1 220.44 m → N  2.471157°
E  8.536377°		 →
↑
1 220.49 m
↓
↑
1 220.49 m
↓
N  2.460181°
E  8.525391°		 ← 1 220.45 m →
1 489 543 m²		 N  2.460181°
E  8.536377°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17160 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16159 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.523696899414062 y=0.493148803710938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.523696899414062 × 215)
    floor (0.523696899414062 × 32768)
    floor (17160.5)     		tx = 17160
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.493148803710938 × 215)
    floor (0.493148803710938 × 32768)
    floor (16159.5)     		ty = 16159
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17160 / 16159 ti = "15/17160/16159"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17160/16159.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17160 ÷ 215
    17160 ÷ 32768     		x = 0.523681640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16159 ÷ 215
    16159 ÷ 32768     		y = 0.493133544921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.523681640625 × 2 - 1) × π
    0.04736328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.14879614
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.493133544921875 × 2 - 1) × π
    0.01373291015625 × 3.1415926535     		Φ = 0.0431432096580505
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14879614} λ = 0.14879614}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0431432096580505))-π/2
    2×atan(1.04408740754514)-π/2
    2×0.806963079336094-π/2
    1.61392615867219-1.57079632675     		φ = 0.04312983
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14879614} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.525391°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.04312983 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 2.471157°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17160 KachelY 16159 0.14879614 0.04312983 8.525391 2.471157
    Oben rechts KachelX + 1 17161 KachelY 16159 0.14898788 0.04312983 8.536377 2.471157
    Unten links KachelX 17160 KachelY + 1 16160 0.14879614 0.04293826 8.525391 2.460181
    Unten rechts KachelX + 1 17161 KachelY + 1 16160 0.14898788 0.04293826 8.536377 2.460181
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.04312983-0.04293826) × R
    0.000191570000000002 × 6371000     		dl = 1220.49247000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.04312983-0.04293826) × R
    0.000191570000000002 × 6371000     		dr = 1220.49247000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14879614-0.14898788) × cos(0.04312983) × R
    0.000191739999999996 × 0.999070053051394 × 6371000     		do = 1220.43953955406m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14879614-0.14898788) × cos(0.04293826) × R
    0.000191739999999996 × 0.999078294539057 × 6371000     		du = 1220.4496071538m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.04312983)-sin(0.04293826))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999070053051394-0.999078294539057)×R²
    abs(0.14898788-0.14879614)×8.24148766331856e-06×R²
    0.000191739999999996×8.24148766331856e-06×6371000²
    0.000191739999999996×8.24148766331856e-06×40589641000000     		ar = 1489543.41638626m²