Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17160 / 10843
↖ ↑ ↗
← N 51.869708°
E  8.525391°		 ← 754.26 m → N 51.869708°
E  8.536377°		 →
↑
754.39 m
↓
↑
754.39 m
↓
N 51.862924°
E  8.525391°		 ← 754.38 m →
569 052 m²		 N 51.862924°
E  8.536377°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17160 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10843 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.523696899414062 y=0.330917358398438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.523696899414062 × 215)
    floor (0.523696899414062 × 32768)
    floor (17160.5)     		tx = 17160
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.330917358398438 × 215)
    floor (0.330917358398438 × 32768)
    floor (10843.5)     		ty = 10843
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17160 / 10843 ti = "15/17160/10843"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17160/10843.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17160 ÷ 215
    17160 ÷ 32768     		x = 0.523681640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10843 ÷ 215
    10843 ÷ 32768     		y = 0.330902099609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.523681640625 × 2 - 1) × π
    0.04736328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.14879614
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.330902099609375 × 2 - 1) × π
    0.33819580078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.06247344317892
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14879614} λ = 0.14879614}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.06247344317892))-π/2
    2×atan(2.89351910048237)-π/2
    2×1.23804675630796-π/2
    2.47609351261592-1.57079632675     		φ = 0.90529719
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14879614} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.525391°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90529719 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.869708°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17160 KachelY 10843 0.14879614 0.90529719 8.525391 51.869708
    Oben rechts KachelX + 1 17161 KachelY 10843 0.14898788 0.90529719 8.536377 51.869708
    Unten links KachelX 17160 KachelY + 1 10844 0.14879614 0.90517878 8.525391 51.862924
    Unten rechts KachelX + 1 17161 KachelY + 1 10844 0.14898788 0.90517878 8.536377 51.862924
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90529719-0.90517878) × R
    0.000118410000000013 × 6371000     		dl = 754.390110000084m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90529719-0.90517878) × R
    0.000118410000000013 × 6371000     		dr = 754.390110000084m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14879614-0.14898788) × cos(0.90529719) × R
    0.000191739999999996 × 0.617451834967461 × 6371000     		do = 754.264058724351m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14879614-0.14898788) × cos(0.90517878) × R
    0.000191739999999996 × 0.617544972973626 × 6371000     		du = 754.377833834526m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90529719)-sin(0.90517878))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.617451834967461-0.617544972973626)×R²
    abs(0.14898788-0.14879614)×9.3138006164839e-05×R²
    0.000191739999999996×9.3138006164839e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.3138006164839e-05×40589641000000     		ar = 569052.262303647m²