Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17160 / 10811
↖ ↑ ↗
← N 52.086258°
E  8.525391°		 ← 750.63 m → N 52.086258°
E  8.536377°		 →
↑
750.76 m
↓
↑
750.76 m
↓
N 52.079506°
E  8.525391°		 ← 750.74 m →
563 582 m²		 N 52.079506°
E  8.536377°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17160 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10811 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.523696899414062 y=0.329940795898438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.523696899414062 × 215)
    floor (0.523696899414062 × 32768)
    floor (17160.5)     		tx = 17160
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.329940795898438 × 215)
    floor (0.329940795898438 × 32768)
    floor (10811.5)     		ty = 10811
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17160 / 10811 ti = "15/17160/10811"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17160/10811.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17160 ÷ 215
    17160 ÷ 32768     		x = 0.523681640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10811 ÷ 215
    10811 ÷ 32768     		y = 0.329925537109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.523681640625 × 2 - 1) × π
    0.04736328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.14879614
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.329925537109375 × 2 - 1) × π
    0.34014892578125 × 3.1415926535     		Φ = 1.06860936633029
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14879614} λ = 0.14879614}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.06860936633029))-π/2
    2×atan(2.91132809274891)-π/2
    2×1.23993650613324-π/2
    2.47987301226647-1.57079632675     		φ = 0.90907669
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14879614} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.525391°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90907669 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.086258°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17160 KachelY 10811 0.14879614 0.90907669 8.525391 52.086258
    Oben rechts KachelX + 1 17161 KachelY 10811 0.14898788 0.90907669 8.536377 52.086258
    Unten links KachelX 17160 KachelY + 1 10812 0.14879614 0.90895885 8.525391 52.079506
    Unten rechts KachelX + 1 17161 KachelY + 1 10812 0.14898788 0.90895885 8.536377 52.079506
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90907669-0.90895885) × R
    0.000117840000000036 × 6371000     		dl = 750.758640000227m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90907669-0.90895885) × R
    0.000117840000000036 × 6371000     		dr = 750.758640000227m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14879614-0.14898788) × cos(0.90907669) × R
    0.000191739999999996 × 0.614474444473609 × 6371000     		do = 750.626951324032m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14879614-0.14898788) × cos(0.90895885) × R
    0.000191739999999996 × 0.614567408510767 × 6371000     		du = 750.740513917924m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90907669)-sin(0.90895885))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.614474444473609-0.614567408510767)×R²
    abs(0.14898788-0.14879614)×9.29640371584162e-05×R²
    0.000191739999999996×9.29640371584162e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.29640371584162e-05×40589641000000     		ar = 563582.29882539m²