Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1716 / 451
↖ ↑ ↗
← N 80.133635°
W 29.179687°		 ← 1 674.61 m → N 80.133635°
W 29.091797°		 →
↑
1 675.89 m
↓
↑
1 675.89 m
↓
N 80.118564°
W 29.179687°		 ← 1 677.14 m →
2 808 585 m²		 N 80.118564°
W 29.091797°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1716 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 451 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4190673828125 y=0.1102294921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4190673828125 × 212)
    floor (0.4190673828125 × 4096)
    floor (1716.5)     		tx = 1716
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.1102294921875 × 212)
    floor (0.1102294921875 × 4096)
    floor (451.5)     		ty = 451
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1716 / 451 ti = "12/1716/451"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1716/451.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1716 ÷ 212
    1716 ÷ 4096     		x = 0.4189453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 451 ÷ 212
    451 ÷ 4096     		y = 0.110107421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4189453125 × 2 - 1) × π
    -0.162109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.50928162
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.110107421875 × 2 - 1) × π
    0.77978515625 × 3.1415926535     		Φ = 2.44976731818335
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50928162} λ = -0.50928162}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.44976731818335))-π/2
    2×atan(11.5856506353338)-π/2
    2×1.48469605296787-π/2
    2.96939210593574-1.57079632675     		φ = 1.39859578
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50928162} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.179687°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39859578 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.133635°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1716 KachelY 451 -0.50928162 1.39859578 -29.179687 80.133635
    Oben rechts KachelX + 1 1717 KachelY 451 -0.50774764 1.39859578 -29.091797 80.133635
    Unten links KachelX 1716 KachelY + 1 452 -0.50928162 1.39833273 -29.179687 80.118564
    Unten rechts KachelX + 1 1717 KachelY + 1 452 -0.50774764 1.39833273 -29.091797 80.118564
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39859578-1.39833273) × R
    0.000263050000000042 × 6371000     		dl = 1675.89155000027m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39859578-1.39833273) × R
    0.000263050000000042 × 6371000     		dr = 1675.89155000027m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50928162--0.50774764) × cos(1.39859578) × R
    0.00153398000000005 × 0.171350763091867 × 6371000     		do = 1674.60870816962m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50928162--0.50774764) × cos(1.39833273) × R
    0.00153398000000005 × 0.171609916673991 × 6371000     		du = 1677.14141264988m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39859578)-sin(1.39833273))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.171350763091867-0.171609916673991)×R²
    abs(-0.50774764--0.50928162)×0.000259153582124277×R²
    0.00153398000000005×0.000259153582124277×6371000²
    0.00153398000000005×0.000259153582124277×40589641000000     		ar = 2808584.86879078m²