Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17157 / 11532
↖ ↑ ↗
← N 46.950262°
E  8.492431°		 ← 833.93 m → N 46.950262°
E  8.503418°		 →
↑
833.96 m
↓
↑
833.96 m
↓
N 46.942762°
E  8.492431°		 ← 834.05 m →
695 517 m²		 N 46.942762°
E  8.503418°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17157 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11532 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.523605346679688 y=0.351943969726562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.523605346679688 × 215)
    floor (0.523605346679688 × 32768)
    floor (17157.5)     		tx = 17157
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.351943969726562 × 215)
    floor (0.351943969726562 × 32768)
    floor (11532.5)     		ty = 11532
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17157 / 11532 ti = "15/17157/11532"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17157/11532.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17157 ÷ 215
    17157 ÷ 32768     		x = 0.523590087890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11532 ÷ 215
    11532 ÷ 32768     		y = 0.3519287109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.523590087890625 × 2 - 1) × π
    0.04718017578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.14822089
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3519287109375 × 2 - 1) × π
    0.296142578125 × 3.1415926535     		Φ = 0.93035934782605
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14822089} λ = 0.14822089}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.93035934782605))-π/2
    2×atan(2.53542011164221)-π/2
    2×1.19511649378883-π/2
    2.39023298757766-1.57079632675     		φ = 0.81943666
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14822089} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.492431°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.81943666 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 46.950262°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17157 KachelY 11532 0.14822089 0.81943666 8.492431 46.950262
    Oben rechts KachelX + 1 17158 KachelY 11532 0.14841264 0.81943666 8.503418 46.950262
    Unten links KachelX 17157 KachelY + 1 11533 0.14822089 0.81930576 8.492431 46.942762
    Unten rechts KachelX + 1 17158 KachelY + 1 11533 0.14841264 0.81930576 8.503418 46.942762
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.81943666-0.81930576) × R
    0.000130900000000045 × 6371000     		dl = 833.963900000286m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.81943666-0.81930576) × R
    0.000130900000000045 × 6371000     		dr = 833.963900000286m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14822089-0.14841264) × cos(0.81943666) × R
    0.000191750000000018 × 0.682632982705432 × 6371000     		do = 833.931245017607m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14822089-0.14841264) × cos(0.81930576) × R
    0.000191750000000018 × 0.682728633522879 × 6371000     		du = 834.048095810494m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.81943666)-sin(0.81930576))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.682632982705432-0.682728633522879)×R²
    abs(0.14841264-0.14822089)×9.56508174465576e-05×R²
    0.000191750000000018×9.56508174465576e-05×6371000²
    0.000191750000000018×9.56508174465576e-05×40589641000000     		ar = 695517.279091234m²