Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17157 / 10887
↖ ↑ ↗
← N 51.570241°
E  8.492431°		 ← 759.32 m → N 51.570241°
E  8.503418°		 →
↑
759.36 m
↓
↑
759.36 m
↓
N 51.563412°
E  8.492431°		 ← 759.43 m →
576 637 m²		 N 51.563412°
E  8.503418°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17157 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10887 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.523605346679688 y=0.332260131835938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.523605346679688 × 215)
    floor (0.523605346679688 × 32768)
    floor (17157.5)     		tx = 17157
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.332260131835938 × 215)
    floor (0.332260131835938 × 32768)
    floor (10887.5)     		ty = 10887
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17157 / 10887 ti = "15/17157/10887"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17157/10887.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17157 ÷ 215
    17157 ÷ 32768     		x = 0.523590087890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10887 ÷ 215
    10887 ÷ 32768     		y = 0.332244873046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.523590087890625 × 2 - 1) × π
    0.04718017578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.14822089
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.332244873046875 × 2 - 1) × π
    0.33551025390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.05403654884579
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14822089} λ = 0.14822089}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.05403654884579))-π/2
    2×atan(2.86920947863492)-π/2
    2×1.23543341802701-π/2
    2.47086683605402-1.57079632675     		φ = 0.90007051
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14822089} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.492431°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90007051 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.570241°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17157 KachelY 10887 0.14822089 0.90007051 8.492431 51.570241
    Oben rechts KachelX + 1 17158 KachelY 10887 0.14841264 0.90007051 8.503418 51.570241
    Unten links KachelX 17157 KachelY + 1 10888 0.14822089 0.89995132 8.492431 51.563412
    Unten rechts KachelX + 1 17158 KachelY + 1 10888 0.14841264 0.89995132 8.503418 51.563412
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90007051-0.89995132) × R
    0.000119190000000047 × 6371000     		dl = 759.359490000298m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90007051-0.89995132) × R
    0.000119190000000047 × 6371000     		dr = 759.359490000298m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14822089-0.14841264) × cos(0.90007051) × R
    0.000191750000000018 × 0.621554734345096 × 6371000     		do = 759.315659499364m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14822089-0.14841264) × cos(0.89995132) × R
    0.000191750000000018 × 0.621648099888082 × 6371000     		du = 759.429718511274m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90007051)-sin(0.89995132))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.621554734345096-0.621648099888082)×R²
    abs(0.14841264-0.14822089)×9.33655429867786e-05×R²
    0.000191750000000018×9.33655429867786e-05×6371000²
    0.000191750000000018×9.33655429867786e-05×40589641000000     		ar = 576636.858525807m²