Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 17154 / 18174
↖ ↑ ↗
← S 19.290405°
E  8.459473°		 ← 1 153.05 m → S 19.290405°
E  8.470459°		 →
↑
1 153.02 m
↓
↑
1 153.02 m
↓
S 19.300775°
E  8.459473°		 ← 1 152.98 m →
1 329 454 m²		 S 19.300775°
E  8.470459°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17154 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18174 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.523513793945312 y=0.554641723632812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.523513793945312 × 215)
    floor (0.523513793945312 × 32768)
    floor (17154.5)     		tx = 17154
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.554641723632812 × 215)
    floor (0.554641723632812 × 32768)
    floor (18174.5)     		ty = 18174
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17154 / 18174 ti = "15/17154/18174"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17154/18174.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17154 ÷ 215
    17154 ÷ 32768     		x = 0.52349853515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18174 ÷ 215
    18174 ÷ 32768     		y = 0.55462646484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.52349853515625 × 2 - 1) × π
    0.0469970703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.14764565
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.55462646484375 × 2 - 1) × π
    -0.1092529296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.343228201279602
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14764565} λ = 0.14764565}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.343228201279602))-π/2
    2×atan(0.709476289688368)-π/2
    2×0.617057617174817-π/2
    1.23411523434963-1.57079632675     		φ = -0.33668109
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14764565} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.459473°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.33668109 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -19.290405°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17154 KachelY 18174 0.14764565 -0.33668109 8.459473 -19.290405
    Oben rechts KachelX + 1 17155 KachelY 18174 0.14783740 -0.33668109 8.470459 -19.290405
    Unten links KachelX 17154 KachelY + 1 18175 0.14764565 -0.33686207 8.459473 -19.300775
    Unten rechts KachelX + 1 17155 KachelY + 1 18175 0.14783740 -0.33686207 8.470459 -19.300775
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.33668109--0.33686207) × R
    0.000180979999999997 × 6371000     		dl = 1153.02357999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.33668109--0.33686207) × R
    0.000180979999999997 × 6371000     		dr = 1153.02357999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14764565-0.14783740) × cos(-0.33668109) × R
    0.000191750000000018 × 0.943856284847703 × 6371000     		do = 1153.05188392924m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14764565-0.14783740) × cos(-0.33686207) × R
    0.000191750000000018 × 0.943796481499599 × 6371000     		du = 1152.97882581192m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.33668109)-sin(-0.33686207))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.943856284847703-0.943796481499599)×R²
    abs(0.14783740-0.14764565)×5.98033481039595e-05×R²
    0.000191750000000018×5.98033481039595e-05×6371000²
    0.000191750000000018×5.98033481039595e-05×40589641000000     		ar = 1329453.8958966m²