Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 17152 / 51971
↖ ↑ ↗
← N 34.879172°
W132.890625°		 ← 250.56 m → N 34.879172°
W132.887878°		 →
↑
250.57 m
↓
↑
250.57 m
↓
N 34.876918°
W132.890625°		 ← 250.57 m →
62 784 m²		 N 34.876918°
W132.887878°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17152 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51971 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.130863189697266 y=0.396511077880859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.130863189697266 × 217)
    floor (0.130863189697266 × 131072)
    floor (17152.5)     		tx = 17152
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.396511077880859 × 217)
    floor (0.396511077880859 × 131072)
    floor (51971.5)     		ty = 51971
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 17152 / 51971 ti = "17/17152/51971"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/17152/51971.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17152 ÷ 217
    17152 ÷ 131072     		x = 0.130859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51971 ÷ 217
    51971 ÷ 131072     		y = 0.396507263183594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.130859375 × 2 - 1) × π
    -0.73828125 × 3.1415926535     		Λ = -2.31937895
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.396507263183594 × 2 - 1) × π
    0.206985473632812 × 3.1415926535     		Φ = 0.650264043346062
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.31937895} λ = -2.31937895}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.650264043346062))-π/2
    2×atan(1.91604668160447)-π/2
    2×1.08977635632639-π/2
    2.17955271265278-1.57079632675     		φ = 0.60875639
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.31937895} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -132.890625°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.60875639 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 34.879172°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17152 KachelY 51971 -2.31937895 0.60875639 -132.890625 34.879172
    Oben rechts KachelX + 1 17153 KachelY 51971 -2.31933101 0.60875639 -132.887878 34.879172
    Unten links KachelX 17152 KachelY + 1 51972 -2.31937895 0.60871706 -132.890625 34.876918
    Unten rechts KachelX + 1 17153 KachelY + 1 51972 -2.31933101 0.60871706 -132.887878 34.876918
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.60875639-0.60871706) × R
    3.93300000000041e-05 × 6371000     		dl = 250.571430000026m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.60875639-0.60871706) × R
    3.93300000000041e-05 × 6371000     		dr = 250.571430000026m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.31937895--2.31933101) × cos(0.60875639) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.820359807544172 × 6371000     		do = 250.559001285272m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.31937895--2.31933101) × cos(0.60871706) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.820382297679521 × 6371000     		du = 250.565870351504m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.60875639)-sin(0.60871706))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.820359807544172-0.820382297679521)×R²
    abs(-2.31933101--2.31937895)×2.24901353483853e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.24901353483853e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.24901353483853e-05×40589641000000     		ar = 62783.7878552287m²