Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17148 / 17122
↖ ↑ ↗
← S  8.080985°
E  8.393555°		 ← 1 209.45 m → S  8.080985°
E  8.404541°		 →
↑
1 209.47 m
↓
↑
1 209.47 m
↓
S  8.091862°
E  8.393555°		 ← 1 209.41 m →
1 462 769 m²		 S  8.091862°
E  8.404541°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17148 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17122 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.523330688476562 y=0.522537231445312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.523330688476562 × 215)
    floor (0.523330688476562 × 32768)
    floor (17148.5)     		tx = 17148
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.522537231445312 × 215)
    floor (0.522537231445312 × 32768)
    floor (17122.5)     		ty = 17122
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17148 / 17122 ti = "15/17148/17122"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17148/17122.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17148 ÷ 215
    17148 ÷ 32768     		x = 0.5233154296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17122 ÷ 215
    17122 ÷ 32768     		y = 0.52252197265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5233154296875 × 2 - 1) × π
    0.046630859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.14649517
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.52252197265625 × 2 - 1) × π
    -0.0450439453125 × 3.1415926535     		Φ = -0.141509727678406
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14649517} λ = 0.14649517}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.141509727678406))-π/2
    2×atan(0.868046731464376)-π/2
    2×0.714878268587418-π/2
    1.42975653717484-1.57079632675     		φ = -0.14103979
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14649517} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.393555°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.14103979 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -8.080985°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17148 KachelY 17122 0.14649517 -0.14103979 8.393555 -8.080985
    Oben rechts KachelX + 1 17149 KachelY 17122 0.14668691 -0.14103979 8.404541 -8.080985
    Unten links KachelX 17148 KachelY + 1 17123 0.14649517 -0.14122963 8.393555 -8.091862
    Unten rechts KachelX + 1 17149 KachelY + 1 17123 0.14668691 -0.14122963 8.404541 -8.091862
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.14103979--0.14122963) × R
    0.000189839999999997 × 6371000     		dl = 1209.47063999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.14103979--0.14122963) × R
    0.000189839999999997 × 6371000     		dr = 1209.47063999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14649517-0.14668691) × cos(-0.14103979) × R
    0.000191739999999996 × 0.990070365411085 × 6371000     		do = 1209.44574126502m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14649517-0.14668691) × cos(-0.14122963) × R
    0.000191739999999996 × 0.9900436612576 × 6371000     		du = 1209.4131201243m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.14103979)-sin(-0.14122963))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.990070365411085-0.9900436612576)×R²
    abs(0.14668691-0.14649517)×2.67041534852686e-05×R²
    0.000191739999999996×2.67041534852686e-05×6371000²
    0.000191739999999996×2.67041534852686e-05×40589641000000     		ar = 1462769.39197006m²