Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 17148 / 17089
↖ ↑ ↗
← S  7.721878°
E  8.393555°		 ← 1 210.50 m → S  7.721878°
E  8.404541°		 →
↑
1 210.55 m
↓
↑
1 210.55 m
↓
S  7.732765°
E  8.393555°		 ← 1 210.47 m →
1 465 354 m²		 S  7.732765°
E  8.404541°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17148 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17089 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.523330688476562 y=0.521530151367188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.523330688476562 × 215)
    floor (0.523330688476562 × 32768)
    floor (17148.5)     		tx = 17148
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.521530151367188 × 215)
    floor (0.521530151367188 × 32768)
    floor (17089.5)     		ty = 17089
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17148 / 17089 ti = "15/17148/17089"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17148/17089.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17148 ÷ 215
    17148 ÷ 32768     		x = 0.5233154296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17089 ÷ 215
    17089 ÷ 32768     		y = 0.521514892578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5233154296875 × 2 - 1) × π
    0.046630859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.14649517
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.521514892578125 × 2 - 1) × π
    -0.04302978515625 × 3.1415926535     		Φ = -0.135182056928558
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14649517} λ = 0.14649517}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.135182056928558))-π/2
    2×atan(0.873556860131378)-π/2
    2×0.718012061273277-π/2
    1.43602412254655-1.57079632675     		φ = -0.13477220
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14649517} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.393555°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.13477220 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -7.721878°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17148 KachelY 17089 0.14649517 -0.13477220 8.393555 -7.721878
    Oben rechts KachelX + 1 17149 KachelY 17089 0.14668691 -0.13477220 8.404541 -7.721878
    Unten links KachelX 17148 KachelY + 1 17090 0.14649517 -0.13496221 8.393555 -7.732765
    Unten rechts KachelX + 1 17149 KachelY + 1 17090 0.14668691 -0.13496221 8.404541 -7.732765
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.13477220--0.13496221) × R
    0.00019000999999999 × 6371000     		dl = 1210.55370999994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.13477220--0.13496221) × R
    0.00019000999999999 × 6371000     		dr = 1210.55370999994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14649517-0.14668691) × cos(-0.13477220) × R
    0.000191739999999996 × 0.990931965166788 × 6371000     		do = 1210.49825045185m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14649517-0.14668691) × cos(-0.13496221) × R
    0.000191739999999996 × 0.990906416664854 × 6371000     		du = 1210.46704102681m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.13477220)-sin(-0.13496221))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.990931965166788-0.990906416664854)×R²
    abs(0.14668691-0.14649517)×2.55485019338142e-05×R²
    0.000191739999999996×2.55485019338142e-05×6371000²
    0.000191739999999996×2.55485019338142e-05×40589641000000     		ar = 1465354.26209889m²