Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17145 / 10810
↖ ↑ ↗
← N 52.093008°
E  8.360596°		 ← 750.55 m → N 52.093008°
E  8.371582°		 →
↑
750.57 m
↓
↑
750.57 m
↓
N 52.086258°
E  8.360596°		 ← 750.67 m →
563 383 m²		 N 52.086258°
E  8.371582°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17145 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10810 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.523239135742188 y=0.329910278320312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.523239135742188 × 215)
    floor (0.523239135742188 × 32768)
    floor (17145.5)     		tx = 17145
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.329910278320312 × 215)
    floor (0.329910278320312 × 32768)
    floor (10810.5)     		ty = 10810
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17145 / 10810 ti = "15/17145/10810"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17145/10810.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17145 ÷ 215
    17145 ÷ 32768     		x = 0.523223876953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10810 ÷ 215
    10810 ÷ 32768     		y = 0.32989501953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.523223876953125 × 2 - 1) × π
    0.04644775390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.14591992
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.32989501953125 × 2 - 1) × π
    0.3402099609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.06880111392877
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14591992} λ = 0.14591992}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.06880111392877))-π/2
    2×atan(2.91188638644311)-π/2
    2×1.23999541367719-π/2
    2.47999082735438-1.57079632675     		φ = 0.90919450
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14591992} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.360596°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90919450 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.093008°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17145 KachelY 10810 0.14591992 0.90919450 8.360596 52.093008
    Oben rechts KachelX + 1 17146 KachelY 10810 0.14611167 0.90919450 8.371582 52.093008
    Unten links KachelX 17145 KachelY + 1 10811 0.14591992 0.90907669 8.360596 52.086258
    Unten rechts KachelX + 1 17146 KachelY + 1 10811 0.14611167 0.90907669 8.371582 52.086258
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90919450-0.90907669) × R
    0.000117809999999996 × 6371000     		dl = 750.567509999974m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90919450-0.90907669) × R
    0.000117809999999996 × 6371000     		dr = 750.567509999974m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14591992-0.14611167) × cos(0.90919450) × R
    0.000191749999999991 × 0.614381495573968 × 6371000     		do = 750.552549466824m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14591992-0.14611167) × cos(0.90907669) × R
    0.000191749999999991 × 0.614474444473609 × 6371000     		du = 750.666099490869m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90919450)-sin(0.90907669))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.614381495573968-0.614474444473609)×R²
    abs(0.14611167-0.14591992)×9.29488996401773e-05×R²
    0.000191749999999991×9.29488996401773e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.29488996401773e-05×40589641000000     		ar = 563382.972308178m²