Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 17144 / 17387
↖ ↑ ↗
← S 10.951978°
E  8.349609°		 ← 1 199.39 m → S 10.951978°
E  8.360596°		 →
↑
1 199.34 m
↓
↑
1 199.34 m
↓
S 10.962764°
E  8.349609°		 ← 1 199.35 m →
1 438 450 m²		 S 10.962764°
E  8.360596°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17144 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17387 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.523208618164062 y=0.530624389648438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.523208618164062 × 215)
    floor (0.523208618164062 × 32768)
    floor (17144.5)     		tx = 17144
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.530624389648438 × 215)
    floor (0.530624389648438 × 32768)
    floor (17387.5)     		ty = 17387
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17144 / 17387 ti = "15/17144/17387"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17144/17387.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17144 ÷ 215
    17144 ÷ 32768     		x = 0.523193359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17387 ÷ 215
    17387 ÷ 32768     		y = 0.530609130859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.523193359375 × 2 - 1) × π
    0.04638671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.14572817
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.530609130859375 × 2 - 1) × π
    -0.06121826171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.192322841275665
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14572817} λ = 0.14572817}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.192322841275665))-π/2
    2×atan(0.825040468374234)-π/2
    2×0.689824123615166-π/2
    1.37964824723033-1.57079632675     		φ = -0.19114808
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14572817} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.349609°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.19114808 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -10.951978°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17144 KachelY 17387 0.14572817 -0.19114808 8.349609 -10.951978
    Oben rechts KachelX + 1 17145 KachelY 17387 0.14591992 -0.19114808 8.360596 -10.951978
    Unten links KachelX 17144 KachelY + 1 17388 0.14572817 -0.19133633 8.349609 -10.962764
    Unten rechts KachelX + 1 17145 KachelY + 1 17388 0.14591992 -0.19133633 8.360596 -10.962764
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.19114808--0.19133633) × R
    0.000188250000000001 × 6371000     		dl = 1199.34075000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.19114808--0.19133633) × R
    0.000188250000000001 × 6371000     		dr = 1199.34075000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14572817-0.14591992) × cos(-0.19114808) × R
    0.000191750000000018 × 0.981786762860984 × 6371000     		do = 1199.38924464153m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14572817-0.14591992) × cos(-0.19133633) × R
    0.000191750000000018 × 0.981750980564677 × 6371000     		du = 1199.34553158391m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.19114808)-sin(-0.19133633))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.981786762860984-0.981750980564677)×R²
    abs(0.14591992-0.14572817)×3.57822963072962e-05×R²
    0.000191750000000018×3.57822963072962e-05×6371000²
    0.000191750000000018×3.57822963072962e-05×40589641000000     		ar = 1438450.18703262m²