Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17143 / 18167
↖ ↑ ↗
← S 19.217803°
E  8.338623°		 ← 1 153.50 m → S 19.217803°
E  8.349609°		 →
↑
1 153.47 m
↓
↑
1 153.47 m
↓
S 19.228177°
E  8.338623°		 ← 1 153.43 m →
1 330 488 m²		 S 19.228177°
E  8.349609°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17143 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18167 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.523178100585938 y=0.554428100585938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.523178100585938 × 215)
    floor (0.523178100585938 × 32768)
    floor (17143.5)     		tx = 17143
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.554428100585938 × 215)
    floor (0.554428100585938 × 32768)
    floor (18167.5)     		ty = 18167
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17143 / 18167 ti = "15/17143/18167"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17143/18167.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17143 ÷ 215
    17143 ÷ 32768     		x = 0.523162841796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18167 ÷ 215
    18167 ÷ 32768     		y = 0.554412841796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.523162841796875 × 2 - 1) × π
    0.04632568359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.14553643
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.554412841796875 × 2 - 1) × π
    -0.10882568359375 × 3.1415926535     		Φ = -0.34188596809024
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14553643} λ = 0.14553643}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.34188596809024))-π/2
    2×atan(0.710429211690157)-π/2
    2×0.617691195079204-π/2
    1.23538239015841-1.57079632675     		φ = -0.33541394
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14553643} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.338623°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.33541394 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -19.217803°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17143 KachelY 18167 0.14553643 -0.33541394 8.338623 -19.217803
    Oben rechts KachelX + 1 17144 KachelY 18167 0.14572817 -0.33541394 8.349609 -19.217803
    Unten links KachelX 17143 KachelY + 1 18168 0.14553643 -0.33559499 8.338623 -19.228177
    Unten rechts KachelX + 1 17144 KachelY + 1 18168 0.14572817 -0.33559499 8.349609 -19.228177
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.33541394--0.33559499) × R
    0.00018104999999996 × 6371000     		dl = 1153.46954999975m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.33541394--0.33559499) × R
    0.00018104999999996 × 6371000     		dr = 1153.46954999975m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14553643-0.14572817) × cos(-0.33541394) × R
    0.000191739999999996 × 0.944274138015736 × 6371000     		do = 1153.50219005458m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14553643-0.14572817) × cos(-0.33559499) × R
    0.000191739999999996 × 0.944214528108996 × 6371000     		du = 1153.42937205057m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.33541394)-sin(-0.33559499))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.944274138015736-0.944214528108996)×R²
    abs(0.14572817-0.14553643)×5.96099067401434e-05×R²
    0.000191739999999996×5.96099067401434e-05×6371000²
    0.000191739999999996×5.96099067401434e-05×40589641000000     		ar = 1330487.65904513m²