Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17142 / 18078
↖ ↑ ↗
← S 18.291950°
E  8.327637°		 ← 1 159.91 m → S 18.291950°
E  8.338623°		 →
↑
1 159.84 m
↓
↑
1 159.84 m
↓
S 18.302380°
E  8.327637°		 ← 1 159.84 m →
1 345 269 m²		 S 18.302380°
E  8.338623°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17142 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18078 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.523147583007812 y=0.551712036132812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.523147583007812 × 215)
    floor (0.523147583007812 × 32768)
    floor (17142.5)     		tx = 17142
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.551712036132812 × 215)
    floor (0.551712036132812 × 32768)
    floor (18078.5)     		ty = 18078
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17142 / 18078 ti = "15/17142/18078"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17142/18078.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17142 ÷ 215
    17142 ÷ 32768     		x = 0.52313232421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18078 ÷ 215
    18078 ÷ 32768     		y = 0.55169677734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.52313232421875 × 2 - 1) × π
    0.0462646484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.14534468
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.55169677734375 × 2 - 1) × π
    -0.1033935546875 × 3.1415926535     		Φ = -0.3248204318255
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14534468} λ = 0.14534468}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.3248204318255))-π/2
    2×atan(0.722657108209538)-π/2
    2×0.625770788671979-π/2
    1.25154157734396-1.57079632675     		φ = -0.31925475
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14534468} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.327637°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.31925475 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -18.291950°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17142 KachelY 18078 0.14534468 -0.31925475 8.327637 -18.291950
    Oben rechts KachelX + 1 17143 KachelY 18078 0.14553643 -0.31925475 8.338623 -18.291950
    Unten links KachelX 17142 KachelY + 1 18079 0.14534468 -0.31943680 8.327637 -18.302380
    Unten rechts KachelX + 1 17143 KachelY + 1 18079 0.14553643 -0.31943680 8.338623 -18.302380
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.31925475--0.31943680) × R
    0.000182050000000045 × 6371000     		dl = 1159.84055000028m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.31925475--0.31943680) × R
    0.000182050000000045 × 6371000     		dr = 1159.84055000028m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14534468-0.14553643) × cos(-0.31925475) × R
    0.000191749999999991 × 0.949469585188533 × 6371000     		do = 1159.90931194747m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14534468-0.14553643) × cos(-0.31943680) × R
    0.000191749999999991 × 0.949412431414014 × 6371000     		du = 1159.83949065324m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.31925475)-sin(-0.31943680))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.949469585188533-0.949412431414014)×R²
    abs(0.14553643-0.14534468)×5.71537745187589e-05×R²
    0.000191749999999991×5.71537745187589e-05×6371000²
    0.000191749999999991×5.71537745187589e-05×40589641000000     		ar = 1345269.36725123m²