Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17142 / 17154
↖ ↑ ↗
← S  8.428904°
E  8.327637°		 ← 1 208.44 m → S  8.428904°
E  8.338623°		 →
↑
1 208.39 m
↓
↑
1 208.39 m
↓
S  8.439771°
E  8.327637°		 ← 1 208.41 m →
1 460 248 m²		 S  8.439771°
E  8.338623°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17142 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17154 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.523147583007812 y=0.523513793945312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.523147583007812 × 215)
    floor (0.523147583007812 × 32768)
    floor (17142.5)     		tx = 17142
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.523513793945312 × 215)
    floor (0.523513793945312 × 32768)
    floor (17154.5)     		ty = 17154
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17142 / 17154 ti = "15/17142/17154"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17142/17154.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17142 ÷ 215
    17142 ÷ 32768     		x = 0.52313232421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17154 ÷ 215
    17154 ÷ 32768     		y = 0.52349853515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.52313232421875 × 2 - 1) × π
    0.0462646484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.14534468
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.52349853515625 × 2 - 1) × π
    -0.0469970703125 × 3.1415926535     		Φ = -0.147645650829773
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14534468} λ = 0.14534468}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.147645650829773))-π/2
    2×atan(0.862736770843262)-π/2
    2×0.711842099021785-π/2
    1.42368419804357-1.57079632675     		φ = -0.14711213
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14534468} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.327637°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.14711213 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -8.428904°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17142 KachelY 17154 0.14534468 -0.14711213 8.327637 -8.428904
    Oben rechts KachelX + 1 17143 KachelY 17154 0.14553643 -0.14711213 8.338623 -8.428904
    Unten links KachelX 17142 KachelY + 1 17155 0.14534468 -0.14730180 8.327637 -8.439771
    Unten rechts KachelX + 1 17143 KachelY + 1 17155 0.14553643 -0.14730180 8.338623 -8.439771
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.14711213--0.14730180) × R
    0.000189670000000003 × 6371000     		dl = 1208.38757000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.14711213--0.14730180) × R
    0.000189670000000003 × 6371000     		dr = 1208.38757000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14534468-0.14553643) × cos(-0.14711213) × R
    0.000191749999999991 × 0.989198512165559 × 6371000     		do = 1208.44372850299m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14534468-0.14553643) × cos(-0.14730180) × R
    0.000191749999999991 × 0.989170692151261 × 6371000     		du = 1208.40974248159m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.14711213)-sin(-0.14730180))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.989198512165559-0.989170692151261)×R²
    abs(0.14553643-0.14534468)×2.782001429813e-05×R²
    0.000191749999999991×2.782001429813e-05×6371000²
    0.000191749999999991×2.782001429813e-05×40589641000000     		ar = 1460247.85080217m²