Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17142 / 17142
↖ ↑ ↗
← S  8.298470°
E  8.327637°		 ← 1 208.85 m → S  8.298470°
E  8.338623°		 →
↑
1 208.83 m
↓
↑
1 208.83 m
↓
S  8.309342°
E  8.327637°		 ← 1 208.81 m →
1 461 276 m²		 S  8.309342°
E  8.338623°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17142 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17142 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.523147583007812 y=0.523147583007812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.523147583007812 × 215)
    floor (0.523147583007812 × 32768)
    floor (17142.5)     		tx = 17142
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.523147583007812 × 215)
    floor (0.523147583007812 × 32768)
    floor (17142.5)     		ty = 17142
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17142 / 17142 ti = "15/17142/17142"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17142/17142.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17142 ÷ 215
    17142 ÷ 32768     		x = 0.52313232421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17142 ÷ 215
    17142 ÷ 32768     		y = 0.52313232421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.52313232421875 × 2 - 1) × π
    0.0462646484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.14534468
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.52313232421875 × 2 - 1) × π
    -0.0462646484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.14534467964801
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14534468} λ = 0.14534468}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.14534467964801))-π/2
    2×atan(0.864724188909408)-π/2
    2×0.712980348618115-π/2
    1.42596069723623-1.57079632675     		φ = -0.14483563
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14534468} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.327637°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.14483563 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -8.298470°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17142 KachelY 17142 0.14534468 -0.14483563 8.327637 -8.298470
    Oben rechts KachelX + 1 17143 KachelY 17142 0.14553643 -0.14483563 8.338623 -8.298470
    Unten links KachelX 17142 KachelY + 1 17143 0.14534468 -0.14502537 8.327637 -8.309342
    Unten rechts KachelX + 1 17143 KachelY + 1 17143 0.14553643 -0.14502537 8.338623 -8.309342
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.14483563--0.14502537) × R
    0.000189739999999994 × 6371000     		dl = 1208.83353999996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.14483563--0.14502537) × R
    0.000189739999999994 × 6371000     		dr = 1208.83353999996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14534468-0.14553643) × cos(-0.14483563) × R
    0.000191749999999991 × 0.989529642725973 × 6371000     		do = 1208.84825059247m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14534468-0.14553643) × cos(-0.14502537) × R
    0.000191749999999991 × 0.989502239781012 × 6371000     		du = 1208.81477407934m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.14483563)-sin(-0.14502537))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.989529642725973-0.989502239781012)×R²
    abs(0.14553643-0.14534468)×2.74029449608415e-05×R²
    0.000191749999999991×2.74029449608415e-05×6371000²
    0.000191749999999991×2.74029449608415e-05×40589641000000     		ar = 1461276.0807045m²