Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 17140 / 15717
↖ ↑ ↗
← N 79.510162°
W132.923584°		 ← 55.59 m → N 79.510162°
W132.920838°		 →
↑
55.62 m
↓
↑
55.62 m
↓
N 79.509661°
W132.923584°		 ← 55.60 m →
3 092 m²		 N 79.509661°
W132.920838°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17140 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15717 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.130771636962891 y=0.119915008544922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.130771636962891 × 217)
    floor (0.130771636962891 × 131072)
    floor (17140.5)     		tx = 17140
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.119915008544922 × 217)
    floor (0.119915008544922 × 131072)
    floor (15717.5)     		ty = 15717
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 17140 / 15717 ti = "17/17140/15717"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/17140/15717.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17140 ÷ 217
    17140 ÷ 131072     		x = 0.130767822265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15717 ÷ 217
    15717 ÷ 131072     		y = 0.119911193847656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.130767822265625 × 2 - 1) × π
    -0.73846435546875 × 3.1415926535     		Λ = -2.31995419
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.119911193847656 × 2 - 1) × π
    0.760177612304688 × 3.1415926535     		Φ = 2.38816840217158
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.31995419} λ = -2.31995419}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.38816840217158))-π/2
    2×atan(10.8935231060893)-π/2
    2×1.47925521833947-π/2
    2.95851043667893-1.57079632675     		φ = 1.38771411
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.31995419} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -132.923584°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38771411 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.510162°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17140 KachelY 15717 -2.31995419 1.38771411 -132.923584 79.510162
    Oben rechts KachelX + 1 17141 KachelY 15717 -2.31990626 1.38771411 -132.920838 79.510162
    Unten links KachelX 17140 KachelY + 1 15718 -2.31995419 1.38770538 -132.923584 79.509661
    Unten rechts KachelX + 1 17141 KachelY + 1 15718 -2.31990626 1.38770538 -132.920838 79.509661
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38771411-1.38770538) × R
    8.72999999979029e-06 × 6371000     		dl = 55.618829998664m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38771411-1.38770538) × R
    8.72999999979029e-06 × 6371000     		dr = 55.618829998664m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.31995419--2.31990626) × cos(1.38771411) × R
    4.79299999995852e-05 × 0.182061137782725 × 6371000     		do = 55.5945586169616m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.31995419--2.31990626) × cos(1.38770538) × R
    4.79299999995852e-05 × 0.182069721873152 × 6371000     		du = 55.5971798722399m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38771411)-sin(1.38770538))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.182061137782725-0.182069721873152)×R²
    abs(-2.31990626--2.31995419)×8.58409042639452e-06×R²
    4.79299999995852e-05×8.58409042639452e-06×6371000²
    4.79299999995852e-05×8.58409042639452e-06×40589641000000     		ar = 3092.17720006638m²