Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17139 / 17131
↖ ↑ ↗
← S  8.178868°
E  8.294678°		 ← 1 209.15 m → S  8.178868°
E  8.305664°		 →
↑
1 209.22 m
↓
↑
1 209.22 m
↓
S  8.189742°
E  8.294678°		 ← 1 209.12 m →
1 462 104 m²		 S  8.189742°
E  8.305664°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17139 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17131 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.523056030273438 y=0.522811889648438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.523056030273438 × 215)
    floor (0.523056030273438 × 32768)
    floor (17139.5)     		tx = 17139
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.522811889648438 × 215)
    floor (0.522811889648438 × 32768)
    floor (17131.5)     		ty = 17131
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17139 / 17131 ti = "15/17139/17131"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17139/17131.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17139 ÷ 215
    17139 ÷ 32768     		x = 0.523040771484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17131 ÷ 215
    17131 ÷ 32768     		y = 0.522796630859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.523040771484375 × 2 - 1) × π
    0.04608154296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.14476944
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.522796630859375 × 2 - 1) × π
    -0.04559326171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.143235456064728
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14476944} λ = 0.14476944}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.143235456064728))-π/2
    2×atan(0.866550010417686)-π/2
    2×0.71402407634946-π/2
    1.42804815269892-1.57079632675     		φ = -0.14274817
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14476944} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.294678°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.14274817 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -8.178868°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17139 KachelY 17131 0.14476944 -0.14274817 8.294678 -8.178868
    Oben rechts KachelX + 1 17140 KachelY 17131 0.14496118 -0.14274817 8.305664 -8.178868
    Unten links KachelX 17139 KachelY + 1 17132 0.14476944 -0.14293797 8.294678 -8.189742
    Unten rechts KachelX + 1 17140 KachelY + 1 17132 0.14496118 -0.14293797 8.305664 -8.189742
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.14274817--0.14293797) × R
    0.00018979999999999 × 6371000     		dl = 1209.21579999994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.14274817--0.14293797) × R
    0.00018979999999999 × 6371000     		dr = 1209.21579999994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14476944-0.14496118) × cos(-0.14274817) × R
    0.000191739999999996 × 0.989828769223699 × 6371000     		do = 1209.15061327195m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14476944-0.14496118) × cos(-0.14293797) × R
    0.000191739999999996 × 0.989801749713247 × 6371000     		du = 1209.11760689888m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.14274817)-sin(-0.14293797))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.989828769223699-0.989801749713247)×R²
    abs(0.14496118-0.14476944)×2.7019510452031e-05×R²
    0.000191739999999996×2.7019510452031e-05×6371000²
    0.000191739999999996×2.7019510452031e-05×40589641000000     		ar = 1462104.07462337m²