Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17138 / 17394
↖ ↑ ↗
← S 11.027472°
E  8.283691°		 ← 1 199.08 m → S 11.027472°
E  8.294678°		 →
↑
1 199.02 m
↓
↑
1 199.02 m
↓
S 11.038255°
E  8.283691°		 ← 1 199.04 m →
1 437 700 m²		 S 11.038255°
E  8.294678°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17138 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17394 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.523025512695312 y=0.530838012695312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.523025512695312 × 215)
    floor (0.523025512695312 × 32768)
    floor (17138.5)     		tx = 17138
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.530838012695312 × 215)
    floor (0.530838012695312 × 32768)
    floor (17394.5)     		ty = 17394
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17138 / 17394 ti = "15/17138/17394"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17138/17394.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17138 ÷ 215
    17138 ÷ 32768     		x = 0.52301025390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17394 ÷ 215
    17394 ÷ 32768     		y = 0.53082275390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.52301025390625 × 2 - 1) × π
    0.0460205078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.14457769
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.53082275390625 × 2 - 1) × π
    -0.0616455078125 × 3.1415926535     		Φ = -0.193665074465027
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14457769} λ = 0.14457769}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.193665074465027))-π/2
    2×atan(0.823933814534916)-π/2
    2×0.689165314420424-π/2
    1.37833062884085-1.57079632675     		φ = -0.19246570
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14457769} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.283691°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.19246570 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -11.027472°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17138 KachelY 17394 0.14457769 -0.19246570 8.283691 -11.027472
    Oben rechts KachelX + 1 17139 KachelY 17394 0.14476944 -0.19246570 8.294678 -11.027472
    Unten links KachelX 17138 KachelY + 1 17395 0.14457769 -0.19265390 8.283691 -11.038255
    Unten rechts KachelX + 1 17139 KachelY + 1 17395 0.14476944 -0.19265390 8.294678 -11.038255
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.19246570--0.19265390) × R
    0.000188199999999999 × 6371000     		dl = 1199.0222m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.19246570--0.19265390) × R
    0.000188199999999999 × 6371000     		dr = 1199.0222m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14457769-0.14476944) × cos(-0.19246570) × R
    0.000191749999999991 × 0.981535581079262 × 6371000     		do = 1199.08239111792m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14457769-0.14476944) × cos(-0.19265390) × R
    0.000191749999999991 × 0.981499564867425 × 6371000     		du = 1199.03839229991m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.19246570)-sin(-0.19265390))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.981535581079262-0.981499564867425)×R²
    abs(0.14476944-0.14457769)×3.60162118366869e-05×R²
    0.000191749999999991×3.60162118366869e-05×6371000²
    0.000191749999999991×3.60162118366869e-05×40589641000000     		ar = 1437700.03304313m²