Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17138 / 17102
↖ ↑ ↗
← S  7.863382°
E  8.283691°		 ← 1 210.15 m → S  7.863382°
E  8.294678°		 →
↑
1 210.11 m
↓
↑
1 210.11 m
↓
S  7.874264°
E  8.283691°		 ← 1 210.12 m →
1 464 395 m²		 S  7.874264°
E  8.294678°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17138 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17102 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.523025512695312 y=0.521926879882812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.523025512695312 × 215)
    floor (0.523025512695312 × 32768)
    floor (17138.5)     		tx = 17138
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.521926879882812 × 215)
    floor (0.521926879882812 × 32768)
    floor (17102.5)     		ty = 17102
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17138 / 17102 ti = "15/17138/17102"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17138/17102.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17138 ÷ 215
    17138 ÷ 32768     		x = 0.52301025390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17102 ÷ 215
    17102 ÷ 32768     		y = 0.52191162109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.52301025390625 × 2 - 1) × π
    0.0460205078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.14457769
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.52191162109375 × 2 - 1) × π
    -0.0438232421875 × 3.1415926535     		Φ = -0.137674775708801
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14457769} λ = 0.14457769}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.137674775708801))-π/2
    2×atan(0.8713820402738)-π/2
    2×0.716777211977367-π/2
    1.43355442395473-1.57079632675     		φ = -0.13724190
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14457769} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.283691°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.13724190 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -7.863382°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17138 KachelY 17102 0.14457769 -0.13724190 8.283691 -7.863382
    Oben rechts KachelX + 1 17139 KachelY 17102 0.14476944 -0.13724190 8.294678 -7.863382
    Unten links KachelX 17138 KachelY + 1 17103 0.14457769 -0.13743184 8.283691 -7.874264
    Unten rechts KachelX + 1 17139 KachelY + 1 17103 0.14476944 -0.13743184 8.294678 -7.874264
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.13724190--0.13743184) × R
    0.00018994 × 6371000     		dl = 1210.10774m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.13724190--0.13743184) × R
    0.00018994 × 6371000     		dr = 1210.10774m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14457769-0.14476944) × cos(-0.13724190) × R
    0.000191749999999991 × 0.990597103247781 × 6371000     		do = 1210.15230226373m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14457769-0.14476944) × cos(-0.13743184) × R
    0.000191749999999991 × 0.990571099407843 × 6371000     		du = 1210.12053495221m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.13724190)-sin(-0.13743184))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.990597103247781-0.990571099407843)×R²
    abs(0.14476944-0.14457769)×2.60038399374496e-05×R²
    0.000191749999999991×2.60038399374496e-05×6371000²
    0.000191749999999991×2.60038399374496e-05×40589641000000     		ar = 1464395.45101595m²