Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 17137 / 14543
↖ ↑ ↗
← N 80.081259°
W132.931823°		 ← 52.60 m → N 80.081259°
W132.929077°		 →
↑
52.62 m
↓
↑
52.62 m
↓
N 80.080785°
W132.931823°		 ← 52.60 m →
2 768 m²		 N 80.080785°
W132.929077°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17137 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14543 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.130748748779297 y=0.110958099365234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.130748748779297 × 217)
    floor (0.130748748779297 × 131072)
    floor (17137.5)     		tx = 17137
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.110958099365234 × 217)
    floor (0.110958099365234 × 131072)
    floor (14543.5)     		ty = 14543
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 17137 / 14543 ti = "17/17137/14543"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/17137/14543.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17137 ÷ 217
    17137 ÷ 131072     		x = 0.130744934082031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14543 ÷ 217
    14543 ÷ 131072     		y = 0.110954284667969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.130744934082031 × 2 - 1) × π
    -0.738510131835938 × 3.1415926535     		Λ = -2.32009800
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.110954284667969 × 2 - 1) × π
    0.778091430664062 × 3.1415926535     		Φ = 2.44444632232552
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.32009800} λ = -2.32009800}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.44444632232552))-π/2
    2×atan(11.5241671580221)-π/2
    2×1.48423897766281-π/2
    2.96847795532562-1.57079632675     		φ = 1.39768163
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.32009800} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -132.931823°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39768163 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.081259°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17137 KachelY 14543 -2.32009800 1.39768163 -132.931823 80.081259
    Oben rechts KachelX + 1 17138 KachelY 14543 -2.32005007 1.39768163 -132.929077 80.081259
    Unten links KachelX 17137 KachelY + 1 14544 -2.32009800 1.39767337 -132.931823 80.080785
    Unten rechts KachelX + 1 17138 KachelY + 1 14544 -2.32005007 1.39767337 -132.929077 80.080785
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39768163-1.39767337) × R
    8.25999999998217e-06 × 6371000     		dl = 52.6244599998864m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39768163-1.39767337) × R
    8.25999999998217e-06 × 6371000     		dr = 52.6244599998864m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.32009800--2.32005007) × cos(1.39768163) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.172251321171314 × 6371000     		do = 52.5990131030865m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.32009800--2.32005007) × cos(1.39767337) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.172259457703509 × 6371000     		du = 52.6014976910748m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39768163)-sin(1.39767337))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.172251321171314-0.172259457703509)×R²
    abs(-2.32005007--2.32009800)×8.13653219530752e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.13653219530752e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.13653219530752e-06×40589641000000     		ar = 2768.06003615046m²