Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 17136 / 17360
↖ ↑ ↗
← S 10.660608°
E  8.261719°		 ← 1 200.55 m → S 10.660608°
E  8.272705°		 →
↑
1 200.49 m
↓
↑
1 200.49 m
↓
S 10.671404°
E  8.261719°		 ← 1 200.51 m →
1 441 225 m²		 S 10.671404°
E  8.272705°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17136 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17360 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.522964477539062 y=0.529800415039062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.522964477539062 × 215)
    floor (0.522964477539062 × 32768)
    floor (17136.5)     		tx = 17136
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.529800415039062 × 215)
    floor (0.529800415039062 × 32768)
    floor (17360.5)     		ty = 17360
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17136 / 17360 ti = "15/17136/17360"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17136/17360.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17136 ÷ 215
    17136 ÷ 32768     		x = 0.52294921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17360 ÷ 215
    17360 ÷ 32768     		y = 0.52978515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.52294921875 × 2 - 1) × π
    0.0458984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.14419419
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.52978515625 × 2 - 1) × π
    -0.0595703125 × 3.1415926535     		Φ = -0.187145656116699
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14419419} λ = 0.14419419}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.187145656116699))-π/2
    2×atan(0.829322931629931)-π/2
    2×0.692366808872553-π/2
    1.38473361774511-1.57079632675     		φ = -0.18606271
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14419419} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.261719°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.18606271 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -10.660608°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17136 KachelY 17360 0.14419419 -0.18606271 8.261719 -10.660608
    Oben rechts KachelX + 1 17137 KachelY 17360 0.14438594 -0.18606271 8.272705 -10.660608
    Unten links KachelX 17136 KachelY + 1 17361 0.14419419 -0.18625114 8.261719 -10.671404
    Unten rechts KachelX + 1 17137 KachelY + 1 17361 0.14438594 -0.18625114 8.272705 -10.671404
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.18606271--0.18625114) × R
    0.000188430000000017 × 6371000     		dl = 1200.48753000011m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.18606271--0.18625114) × R
    0.000188430000000017 × 6371000     		dr = 1200.48753000011m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14419419-0.14438594) × cos(-0.18606271) × R
    0.000191749999999991 × 0.982740213805655 × 6371000     		do = 1200.55401773832m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14419419-0.14438594) × cos(-0.18625114) × R
    0.000191749999999991 × 0.982705338504147 × 6371000     		du = 1200.51141270114m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.18606271)-sin(-0.18625114))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.982740213805655-0.982705338504147)×R²
    abs(0.14438594-0.14419419)×3.48753015078085e-05×R²
    0.000191749999999991×3.48753015078085e-05×6371000²
    0.000191749999999991×3.48753015078085e-05×40589641000000     		ar = 1441224.55824272m²