Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17135 / 18063
↖ ↑ ↗
← S 18.135411°
E  8.250733°		 ← 1 160.89 m → S 18.135411°
E  8.261719°		 →
↑
1 160.92 m
↓
↑
1 160.92 m
↓
S 18.145852°
E  8.250733°		 ← 1 160.82 m →
1 347 667 m²		 S 18.145852°
E  8.261719°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17135 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18063 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.522933959960938 y=0.551254272460938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.522933959960938 × 215)
    floor (0.522933959960938 × 32768)
    floor (17135.5)     		tx = 17135
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.551254272460938 × 215)
    floor (0.551254272460938 × 32768)
    floor (18063.5)     		ty = 18063
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17135 / 18063 ti = "15/17135/18063"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17135/18063.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17135 ÷ 215
    17135 ÷ 32768     		x = 0.522918701171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18063 ÷ 215
    18063 ÷ 32768     		y = 0.551239013671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.522918701171875 × 2 - 1) × π
    0.04583740234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.14400245
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.551239013671875 × 2 - 1) × π
    -0.10247802734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.321944217848297
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14400245} λ = 0.14400245}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.321944217848297))-π/2
    2×atan(0.724738616681819)-π/2
    2×0.627136842313-π/2
    1.254273684626-1.57079632675     		φ = -0.31652264
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14400245} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.250733°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.31652264 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -18.135411°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17135 KachelY 18063 0.14400245 -0.31652264 8.250733 -18.135411
    Oben rechts KachelX + 1 17136 KachelY 18063 0.14419419 -0.31652264 8.261719 -18.135411
    Unten links KachelX 17135 KachelY + 1 18064 0.14400245 -0.31670486 8.250733 -18.145852
    Unten rechts KachelX + 1 17136 KachelY + 1 18064 0.14419419 -0.31670486 8.261719 -18.145852
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.31652264--0.31670486) × R
    0.000182219999999955 × 6371000     		dl = 1160.92361999971m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.31652264--0.31670486) × R
    0.000182219999999955 × 6371000     		dr = 1160.92361999971m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14400245-0.14419419) × cos(-0.31652264) × R
    0.000191739999999996 × 0.950323537966153 × 6371000     		do = 1160.89198906569m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14400245-0.14419419) × cos(-0.31670486) × R
    0.000191739999999996 × 0.950266803693645 × 6371000     		du = 1160.82268386611m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.31652264)-sin(-0.31670486))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.950323537966153-0.950266803693645)×R²
    abs(0.14419419-0.14400245)×5.67342725077413e-05×R²
    0.000191739999999996×5.67342725077413e-05×6371000²
    0.000191739999999996×5.67342725077413e-05×40589641000000     		ar = 1347666.70508201m²