Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 17135 / 17138
↖ ↑ ↗
← S  8.254983°
E  8.250733°		 ← 1 208.92 m → S  8.254983°
E  8.261719°		 →
↑
1 208.96 m
↓
↑
1 208.96 m
↓
S  8.265855°
E  8.250733°		 ← 1 208.89 m →
1 461 515 m²		 S  8.265855°
E  8.261719°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17135 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17138 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.522933959960938 y=0.523025512695312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.522933959960938 × 215)
    floor (0.522933959960938 × 32768)
    floor (17135.5)     		tx = 17135
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.523025512695312 × 215)
    floor (0.523025512695312 × 32768)
    floor (17138.5)     		ty = 17138
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17135 / 17138 ti = "15/17135/17138"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17135/17138.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17135 ÷ 215
    17135 ÷ 32768     		x = 0.522918701171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17138 ÷ 215
    17138 ÷ 32768     		y = 0.52301025390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.522918701171875 × 2 - 1) × π
    0.04583740234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.14400245
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.52301025390625 × 2 - 1) × π
    -0.0460205078125 × 3.1415926535     		Φ = -0.144577689254089
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14400245} λ = 0.14400245}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.144577689254089))-π/2
    2×atan(0.865387678468225)-π/2
    2×0.71335984945184-π/2
    1.42671969890368-1.57079632675     		φ = -0.14407663
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14400245} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.250733°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.14407663 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -8.254983°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17135 KachelY 17138 0.14400245 -0.14407663 8.250733 -8.254983
    Oben rechts KachelX + 1 17136 KachelY 17138 0.14419419 -0.14407663 8.261719 -8.254983
    Unten links KachelX 17135 KachelY + 1 17139 0.14400245 -0.14426639 8.250733 -8.265855
    Unten rechts KachelX + 1 17136 KachelY + 1 17139 0.14419419 -0.14426639 8.261719 -8.265855
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.14407663--0.14426639) × R
    0.000189759999999983 × 6371000     		dl = 1208.96095999989m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.14407663--0.14426639) × R
    0.000189759999999983 × 6371000     		dr = 1208.96095999989m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14400245-0.14419419) × cos(-0.14407663) × R
    0.000191739999999996 × 0.989638903995905 × 6371000     		do = 1208.91867855378m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14400245-0.14419419) × cos(-0.14426639) × R
    0.000191739999999996 × 0.989611640686317 × 6371000     		du = 1208.88537436165m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.14407663)-sin(-0.14426639))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.989638903995905-0.989611640686317)×R²
    abs(0.14419419-0.14400245)×2.72633095874664e-05×R²
    0.000191739999999996×2.72633095874664e-05×6371000²
    0.000191739999999996×2.72633095874664e-05×40589641000000     		ar = 1461515.35883776m²