Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17135 / 17137
↖ ↑ ↗
← S  8.244110°
E  8.250733°		 ← 1 208.95 m → S  8.244110°
E  8.261719°		 →
↑
1 209.02 m
↓
↑
1 209.02 m
↓
S  8.254983°
E  8.250733°		 ← 1 208.92 m →
1 461 633 m²		 S  8.254983°
E  8.261719°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17135 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17137 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.522933959960938 y=0.522994995117188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.522933959960938 × 215)
    floor (0.522933959960938 × 32768)
    floor (17135.5)     		tx = 17135
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.522994995117188 × 215)
    floor (0.522994995117188 × 32768)
    floor (17137.5)     		ty = 17137
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17135 / 17137 ti = "15/17135/17137"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17135/17137.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17135 ÷ 215
    17135 ÷ 32768     		x = 0.522918701171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17137 ÷ 215
    17137 ÷ 32768     		y = 0.522979736328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.522918701171875 × 2 - 1) × π
    0.04583740234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.14400245
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.522979736328125 × 2 - 1) × π
    -0.04595947265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.144385941655609
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14400245} λ = 0.14400245}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.144385941655609))-π/2
    2×atan(0.865553630387258)-π/2
    2×0.713454731198984-π/2
    1.42690946239797-1.57079632675     		φ = -0.14388686
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14400245} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.250733°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.14388686 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -8.244110°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17135 KachelY 17137 0.14400245 -0.14388686 8.250733 -8.244110
    Oben rechts KachelX + 1 17136 KachelY 17137 0.14419419 -0.14388686 8.261719 -8.244110
    Unten links KachelX 17135 KachelY + 1 17138 0.14400245 -0.14407663 8.250733 -8.254983
    Unten rechts KachelX + 1 17136 KachelY + 1 17138 0.14419419 -0.14407663 8.261719 -8.254983
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.14388686--0.14407663) × R
    0.000189770000000006 × 6371000     		dl = 1209.02467000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.14388686--0.14407663) × R
    0.000189770000000006 × 6371000     		dr = 1209.02467000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14400245-0.14419419) × cos(-0.14388686) × R
    0.000191739999999996 × 0.989666133103635 × 6371000     		do = 1208.95194096576m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14400245-0.14419419) × cos(-0.14407663) × R
    0.000191739999999996 × 0.989638903995905 × 6371000     		du = 1208.91867855378m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.14388686)-sin(-0.14407663))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.989666133103635-0.989638903995905)×R²
    abs(0.14419419-0.14400245)×2.72291077301201e-05×R²
    0.000191739999999996×2.72291077301201e-05×6371000²
    0.000191739999999996×2.72291077301201e-05×40589641000000     		ar = 1461632.6183201m²