Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17135 / 10910
↖ ↑ ↗
← N 51.412912°
E  8.250733°		 ← 761.90 m → N 51.412912°
E  8.261719°		 →
↑
761.97 m
↓
↑
761.97 m
↓
N 51.406059°
E  8.250733°		 ← 762.02 m →
580 590 m²		 N 51.406059°
E  8.261719°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17135 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10910 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.522933959960938 y=0.332962036132812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.522933959960938 × 215)
    floor (0.522933959960938 × 32768)
    floor (17135.5)     		tx = 17135
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.332962036132812 × 215)
    floor (0.332962036132812 × 32768)
    floor (10910.5)     		ty = 10910
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17135 / 10910 ti = "15/17135/10910"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17135/10910.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17135 ÷ 215
    17135 ÷ 32768     		x = 0.522918701171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10910 ÷ 215
    10910 ÷ 32768     		y = 0.33294677734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.522918701171875 × 2 - 1) × π
    0.04583740234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.14400245
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.33294677734375 × 2 - 1) × π
    0.3341064453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.04962635408075
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14400245} λ = 0.14400245}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.04962635408075))-π/2
    2×atan(2.85658356783957)-π/2
    2×1.23406046073598-π/2
    2.46812092147196-1.57079632675     		φ = 0.89732459
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14400245} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.250733°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89732459 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.412912°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17135 KachelY 10910 0.14400245 0.89732459 8.250733 51.412912
    Oben rechts KachelX + 1 17136 KachelY 10910 0.14419419 0.89732459 8.261719 51.412912
    Unten links KachelX 17135 KachelY + 1 10911 0.14400245 0.89720499 8.250733 51.406059
    Unten rechts KachelX + 1 17136 KachelY + 1 10911 0.14419419 0.89720499 8.261719 51.406059
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89732459-0.89720499) × R
    0.000119599999999997 × 6371000     		dl = 761.971599999984m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89732459-0.89720499) × R
    0.000119599999999997 × 6371000     		dr = 761.971599999984m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14400245-0.14419419) × cos(0.89732459) × R
    0.000191739999999996 × 0.62370346173343 × 6371000     		do = 761.900893066867m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14400245-0.14419419) × cos(0.89720499) × R
    0.000191739999999996 × 0.623796943933607 × 6371000     		du = 762.015088636029m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89732459)-sin(0.89720499))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.62370346173343-0.623796943933607)×R²
    abs(0.14419419-0.14400245)×9.34822001772417e-05×R²
    0.000191739999999996×9.34822001772417e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.34822001772417e-05×40589641000000     		ar = 580590.350113145m²