Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 17132 / 4972
↖ ↑ ↗
← N 82.036613°
W 85.891113°		 ← 84.62 m → N 82.036613°
W 85.885620°		 →
↑
84.61 m
↓
↑
84.61 m
↓
N 82.035852°
W 85.891113°		 ← 84.63 m →
7 160 m²		 N 82.035852°
W 85.885620°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17132 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4972 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.261421203613281 y=0.0758743286132812 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.261421203613281 × 216)
    floor (0.261421203613281 × 65536)
    floor (17132.5)     		tx = 17132
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0758743286132812 × 216)
    floor (0.0758743286132812 × 65536)
    floor (4972.5)     		ty = 4972
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 17132 / 4972 ti = "16/17132/4972"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/17132/4972.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17132 ÷ 216
    17132 ÷ 65536     		x = 0.26141357421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4972 ÷ 216
    4972 ÷ 65536     		y = 0.07586669921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.26141357421875 × 2 - 1) × π
    -0.4771728515625 × 3.1415926535     		Λ = -1.49908272
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.07586669921875 × 2 - 1) × π
    0.8482666015625 × 3.1415926535     		Φ = 2.66490812367816
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.49908272} λ = -1.49908272}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.66490812367816))-π/2
    2×atan(14.36662953228)-π/2
    2×1.50130266514213-π/2
    3.00260533028425-1.57079632675     		φ = 1.43180900
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.49908272} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -85.891113°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.43180900 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.036613°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17132 KachelY 4972 -1.49908272 1.43180900 -85.891113 82.036613
    Oben rechts KachelX + 1 17133 KachelY 4972 -1.49898685 1.43180900 -85.885620 82.036613
    Unten links KachelX 17132 KachelY + 1 4973 -1.49908272 1.43179572 -85.891113 82.035852
    Unten rechts KachelX + 1 17133 KachelY + 1 4973 -1.49898685 1.43179572 -85.885620 82.035852
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.43180900-1.43179572) × R
    1.32800000001154e-05 × 6371000     		dl = 84.6068800007353m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.43180900-1.43179572) × R
    1.32800000001154e-05 × 6371000     		dr = 84.6068800007353m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.49908272--1.49898685) × cos(1.43180900) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.138540278057782 × 6371000     		do = 84.6187074900906m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.49908272--1.49898685) × cos(1.43179572) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.138553429983869 × 6371000     		du = 84.6267405256969m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.43180900)-sin(1.43179572))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.138540278057782-0.138553429983869)×R²
    abs(-1.49898685--1.49908272)×1.31519260876956e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.31519260876956e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.31519260876956e-05×40589641000000     		ar = 7159.66465568573m²