Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 17132 / 15731
↖ ↑ ↗
← N 79.503159°
W132.945557°		 ← 55.64 m → N 79.503159°
W132.942810°		 →
↑
55.68 m
↓
↑
55.68 m
↓
N 79.502658°
W132.945557°		 ← 55.65 m →
3 098 m²		 N 79.502658°
W132.942810°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17132 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15731 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.130710601806641 y=0.120021820068359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.130710601806641 × 217)
    floor (0.130710601806641 × 131072)
    floor (17132.5)     		tx = 17132
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.120021820068359 × 217)
    floor (0.120021820068359 × 131072)
    floor (15731.5)     		ty = 15731
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 17132 / 15731 ti = "17/17132/15731"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/17132/15731.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17132 ÷ 217
    17132 ÷ 131072     		x = 0.130706787109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15731 ÷ 217
    15731 ÷ 131072     		y = 0.120018005371094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.130706787109375 × 2 - 1) × π
    -0.73858642578125 × 3.1415926535     		Λ = -2.32033769
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.120018005371094 × 2 - 1) × π
    0.759963989257812 × 3.1415926535     		Φ = 2.3874972855769
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.32033769} λ = -2.32033769}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.3874972855769))-π/2
    2×atan(10.8862147346172)-π/2
    2×1.47919410605238-π/2
    2.95838821210476-1.57079632675     		φ = 1.38759189
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.32033769} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -132.945557°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38759189 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.503159°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17132 KachelY 15731 -2.32033769 1.38759189 -132.945557 79.503159
    Oben rechts KachelX + 1 17133 KachelY 15731 -2.32028975 1.38759189 -132.942810 79.503159
    Unten links KachelX 17132 KachelY + 1 15732 -2.32033769 1.38758315 -132.945557 79.502658
    Unten rechts KachelX + 1 17133 KachelY + 1 15732 -2.32028975 1.38758315 -132.942810 79.502658
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38759189-1.38758315) × R
    8.73999999995156e-06 × 6371000     		dl = 55.6825399996914m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38759189-1.38758315) × R
    8.73999999995156e-06 × 6371000     		dr = 55.6825399996914m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.32033769--2.32028975) × cos(1.38759189) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.182181313785738 × 6371000     		do = 55.6428625771447m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.32033769--2.32028975) × cos(1.38758315) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.182189907514474 × 6371000     		du = 55.6454873231032m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38759189)-sin(1.38758315))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.182181313785738-0.182189907514474)×R²
    abs(-2.32028975--2.32033769)×8.59372873579511e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.59372873579511e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.59372873579511e-06×40589641000000     		ar = 3098.40899739126m²