Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17131 / 17118
↖ ↑ ↗
← S  8.037473°
E  8.206787°		 ← 1 209.58 m → S  8.037473°
E  8.217773°		 →
↑
1 209.66 m
↓
↑
1 209.66 m
↓
S  8.048352°
E  8.206787°		 ← 1 209.54 m →
1 463 158 m²		 S  8.048352°
E  8.217773°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17131 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17118 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.522811889648438 y=0.522415161132812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.522811889648438 × 215)
    floor (0.522811889648438 × 32768)
    floor (17131.5)     		tx = 17131
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.522415161132812 × 215)
    floor (0.522415161132812 × 32768)
    floor (17118.5)     		ty = 17118
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17131 / 17118 ti = "15/17131/17118"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17131/17118.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17131 ÷ 215
    17131 ÷ 32768     		x = 0.522796630859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17118 ÷ 215
    17118 ÷ 32768     		y = 0.52239990234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.522796630859375 × 2 - 1) × π
    0.04559326171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.14323546
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.52239990234375 × 2 - 1) × π
    -0.0447998046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.140742737284485
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14323546} λ = 0.14323546}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.140742737284485))-π/2
    2×atan(0.86871277035895)-π/2
    2×0.715257976250001-π/2
    1.4305159525-1.57079632675     		φ = -0.14028037
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14323546} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.206787°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.14028037 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -8.037473°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17131 KachelY 17118 0.14323546 -0.14028037 8.206787 -8.037473
    Oben rechts KachelX + 1 17132 KachelY 17118 0.14342720 -0.14028037 8.217773 -8.037473
    Unten links KachelX 17131 KachelY + 1 17119 0.14323546 -0.14047024 8.206787 -8.048352
    Unten rechts KachelX + 1 17132 KachelY + 1 17119 0.14342720 -0.14047024 8.217773 -8.048352
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.14028037--0.14047024) × R
    0.000189870000000009 × 6371000     		dl = 1209.66177000005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.14028037--0.14047024) × R
    0.000189870000000009 × 6371000     		dr = 1209.66177000005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14323546-0.14342720) × cos(-0.14028037) × R
    0.000191739999999996 × 0.990176833590976 × 6371000     		do = 1209.57580018936m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14323546-0.14342720) × cos(-0.14047024) × R
    0.000191739999999996 × 0.990150267979746 × 6371000     		du = 1209.54334828848m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.14028037)-sin(-0.14047024))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.990176833590976-0.990150267979746)×R²
    abs(0.14342720-0.14323546)×2.6565611230378e-05×R²
    0.000191739999999996×2.6565611230378e-05×6371000²
    0.000191739999999996×2.6565611230378e-05×40589641000000     		ar = 1463157.97988993m²