Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1713 / 441
↖ ↑ ↗
← N 80.283104°
W 29.443359°		 ← 1 649.49 m → N 80.283104°
W 29.355469°		 →
↑
1 650.73 m
↓
↑
1 650.73 m
↓
N 80.268259°
W 29.443359°		 ← 1 651.98 m →
2 724 908 m²		 N 80.268259°
W 29.355469°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1713 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 441 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4183349609375 y=0.1077880859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4183349609375 × 212)
    floor (0.4183349609375 × 4096)
    floor (1713.5)     		tx = 1713
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.1077880859375 × 212)
    floor (0.1077880859375 × 4096)
    floor (441.5)     		ty = 441
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1713 / 441 ti = "12/1713/441"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1713/441.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1713 ÷ 212
    1713 ÷ 4096     		x = 0.418212890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 441 ÷ 212
    441 ÷ 4096     		y = 0.107666015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.418212890625 × 2 - 1) × π
    -0.16357421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.51388356
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.107666015625 × 2 - 1) × π
    0.78466796875 × 3.1415926535     		Φ = 2.46510712606177
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51388356} λ = -0.51388356}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.46510712606177))-π/2
    2×atan(11.7647423949972)-π/2
    2×1.48600041418243-π/2
    2.97200082836486-1.57079632675     		φ = 1.40120450
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51388356} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.443359°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40120450 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.283104°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1713 KachelY 441 -0.51388356 1.40120450 -29.443359 80.283104
    Oben rechts KachelX + 1 1714 KachelY 441 -0.51234958 1.40120450 -29.355469 80.283104
    Unten links KachelX 1713 KachelY + 1 442 -0.51388356 1.40094540 -29.443359 80.268259
    Unten rechts KachelX + 1 1714 KachelY + 1 442 -0.51234958 1.40094540 -29.355469 80.268259
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40120450-1.40094540) × R
    0.000259100000000068 × 6371000     		dl = 1650.72610000043m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40120450-1.40094540) × R
    0.000259100000000068 × 6371000     		dr = 1650.72610000043m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51388356--0.51234958) × cos(1.40120450) × R
    0.00153398000000005 × 0.168780045691613 × 6371000     		do = 1649.48512151597m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51388356--0.51234958) × cos(1.40094540) × R
    0.00153398000000005 × 0.169035422907582 × 6371000     		du = 1651.98091962047m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40120450)-sin(1.40094540))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.168780045691613-0.169035422907582)×R²
    abs(-0.51234958--0.51388356)×0.000255377215968772×R²
    0.00153398000000005×0.000255377215968772×6371000²
    0.00153398000000005×0.000255377215968772×40589641000000     		ar = 2724908.09642475m²