Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 17129 / 15739
↖ ↑ ↗
← N 79.499155°
W132.953796°		 ← 55.66 m → N 79.499155°
W132.951050°		 →
↑
55.68 m
↓
↑
55.68 m
↓
N 79.498654°
W132.953796°		 ← 55.67 m →
3 100 m²		 N 79.498654°
W132.951050°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17129 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15739 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.130687713623047 y=0.120082855224609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.130687713623047 × 217)
    floor (0.130687713623047 × 131072)
    floor (17129.5)     		tx = 17129
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.120082855224609 × 217)
    floor (0.120082855224609 × 131072)
    floor (15739.5)     		ty = 15739
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 17129 / 15739 ti = "17/17129/15739"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/17129/15739.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17129 ÷ 217
    17129 ÷ 131072     		x = 0.130683898925781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15739 ÷ 217
    15739 ÷ 131072     		y = 0.120079040527344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.130683898925781 × 2 - 1) × π
    -0.738632202148438 × 3.1415926535     		Λ = -2.32048150
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.120079040527344 × 2 - 1) × π
    0.759841918945312 × 3.1415926535     		Φ = 2.38711379037994
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.32048150} λ = -2.32048150}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.38711379037994))-π/2
    2×atan(10.8820407239611)-π/2
    2×1.4791591666351-π/2
    2.9583183332702-1.57079632675     		φ = 1.38752201
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.32048150} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -132.953796°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38752201 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.499155°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17129 KachelY 15739 -2.32048150 1.38752201 -132.953796 79.499155
    Oben rechts KachelX + 1 17130 KachelY 15739 -2.32043356 1.38752201 -132.951050 79.499155
    Unten links KachelX 17129 KachelY + 1 15740 -2.32048150 1.38751327 -132.953796 79.498654
    Unten rechts KachelX + 1 17130 KachelY + 1 15740 -2.32043356 1.38751327 -132.951050 79.498654
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38752201-1.38751327) × R
    8.74000000017361e-06 × 6371000     		dl = 55.6825400011061m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38752201-1.38751327) × R
    8.74000000017361e-06 × 6371000     		dr = 55.6825400011061m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.32048150--2.32043356) × cos(1.38752201) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.182250023895822 × 6371000     		do = 55.6638484133626m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.32048150--2.32043356) × cos(1.38751327) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.182258617513267 × 6371000     		du = 55.6664731253299m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38752201)-sin(1.38751327))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.182250023895822-0.182258617513267)×R²
    abs(-2.32043356--2.32048150)×8.5936174449297e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.5936174449297e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.5936174449297e-06×40589641000000     		ar = 3099.57754127785m²