Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 17128 / 4967
↖ ↑ ↗
← N 82.040417°
W 85.913086°		 ← 84.58 m → N 82.040417°
W 85.907593°		 →
↑
84.61 m
↓
↑
84.61 m
↓
N 82.039656°
W 85.913086°		 ← 84.59 m →
7 156 m²		 N 82.039656°
W 85.907593°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17128 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4967 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.261360168457031 y=0.0757980346679688 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.261360168457031 × 216)
    floor (0.261360168457031 × 65536)
    floor (17128.5)     		tx = 17128
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0757980346679688 × 216)
    floor (0.0757980346679688 × 65536)
    floor (4967.5)     		ty = 4967
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 17128 / 4967 ti = "16/17128/4967"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/17128/4967.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17128 ÷ 216
    17128 ÷ 65536     		x = 0.2613525390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4967 ÷ 216
    4967 ÷ 65536     		y = 0.0757904052734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2613525390625 × 2 - 1) × π
    -0.477294921875 × 3.1415926535     		Λ = -1.49946622
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0757904052734375 × 2 - 1) × π
    0.848419189453125 × 3.1415926535     		Φ = 2.66538749267436
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.49946622} λ = -1.49946622}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.66538749267436))-π/2
    2×atan(14.3735181000087)-π/2
    2×1.50133586321733-π/2
    3.00267172643466-1.57079632675     		φ = 1.43187540
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.49946622} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -85.913086°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.43187540 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.040417°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17128 KachelY 4967 -1.49946622 1.43187540 -85.913086 82.040417
    Oben rechts KachelX + 1 17129 KachelY 4967 -1.49937035 1.43187540 -85.907593 82.040417
    Unten links KachelX 17128 KachelY + 1 4968 -1.49946622 1.43186212 -85.913086 82.039656
    Unten rechts KachelX + 1 17129 KachelY + 1 4968 -1.49937035 1.43186212 -85.907593 82.039656
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.43187540-1.43186212) × R
    1.32800000001154e-05 × 6371000     		dl = 84.6068800007353m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.43187540-1.43186212) × R
    1.32800000001154e-05 × 6371000     		dr = 84.6068800007353m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.49946622--1.49937035) × cos(1.43187540) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.138474518060899 × 6371000     		do = 84.5785420882395m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.49946622--1.49937035) × cos(1.43186212) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.138487670109127 × 6371000     		du = 84.5865751984478m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.43187540)-sin(1.43186212))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.138474518060899-0.138487670109127)×R²
    abs(-1.49937035--1.49946622)×1.31520482282155e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.31520482282155e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.31520482282155e-05×40589641000000     		ar = 7156.2663893254m²