Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17128 / 17112
↖ ↑ ↗
← S  7.972198°
E  8.173828°		 ← 1 209.83 m → S  7.972198°
E  8.184814°		 →
↑
1 209.79 m
↓
↑
1 209.79 m
↓
S  7.983078°
E  8.173828°		 ← 1 209.80 m →
1 463 623 m²		 S  7.983078°
E  8.184814°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17128 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17112 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.522720336914062 y=0.522232055664062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.522720336914062 × 215)
    floor (0.522720336914062 × 32768)
    floor (17128.5)     		tx = 17128
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.522232055664062 × 215)
    floor (0.522232055664062 × 32768)
    floor (17112.5)     		ty = 17112
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17128 / 17112 ti = "15/17128/17112"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17128/17112.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17128 ÷ 215
    17128 ÷ 32768     		x = 0.522705078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17112 ÷ 215
    17112 ÷ 32768     		y = 0.522216796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.522705078125 × 2 - 1) × π
    0.04541015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.14266021
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.522216796875 × 2 - 1) × π
    -0.04443359375 × 3.1415926535     		Φ = -0.139592251693604
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14266021} λ = 0.14266021}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.139592251693604))-π/2
    2×atan(0.869712787025942)-π/2
    2×0.715827614031415-π/2
    1.43165522806283-1.57079632675     		φ = -0.13914110
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14266021} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.173828°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.13914110 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -7.972198°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17128 KachelY 17112 0.14266021 -0.13914110 8.173828 -7.972198
    Oben rechts KachelX + 1 17129 KachelY 17112 0.14285196 -0.13914110 8.184814 -7.972198
    Unten links KachelX 17128 KachelY + 1 17113 0.14266021 -0.13933099 8.173828 -7.983078
    Unten rechts KachelX + 1 17129 KachelY + 1 17113 0.14285196 -0.13933099 8.184814 -7.983078
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.13914110--0.13933099) × R
    0.000189889999999998 × 6371000     		dl = 1209.78918999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.13914110--0.13933099) × R
    0.000189889999999998 × 6371000     		dr = 1209.78918999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14266021-0.14285196) × cos(-0.13914110) × R
    0.000191749999999991 × 0.990335484533361 × 6371000     		do = 1209.83269857366m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14266021-0.14285196) × cos(-0.13933099) × R
    0.000191749999999991 × 0.990309130347154 × 6371000     		du = 1209.80050326539m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.13914110)-sin(-0.13933099))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.990335484533361-0.990309130347154)×R²
    abs(0.14285196-0.14266021)×2.63541862070005e-05×R²
    0.000191749999999991×2.63541862070005e-05×6371000²
    0.000191749999999991×2.63541862070005e-05×40589641000000     		ar = 1463623.05007291m²