Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17128 / 10865
↖ ↑ ↗
← N 51.720222°
E  8.173828°		 ← 756.81 m → N 51.720222°
E  8.184814°		 →
↑
756.81 m
↓
↑
756.81 m
↓
N 51.713416°
E  8.173828°		 ← 756.92 m →
572 804 m²		 N 51.713416°
E  8.184814°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17128 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10865 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.522720336914062 y=0.331588745117188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.522720336914062 × 215)
    floor (0.522720336914062 × 32768)
    floor (17128.5)     		tx = 17128
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.331588745117188 × 215)
    floor (0.331588745117188 × 32768)
    floor (10865.5)     		ty = 10865
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17128 / 10865 ti = "15/17128/10865"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17128/10865.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17128 ÷ 215
    17128 ÷ 32768     		x = 0.522705078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10865 ÷ 215
    10865 ÷ 32768     		y = 0.331573486328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.522705078125 × 2 - 1) × π
    0.04541015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.14266021
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.331573486328125 × 2 - 1) × π
    0.33685302734375 × 3.1415926535     		Φ = 1.05825499601236
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14266021} λ = 0.14266021}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.05825499601236))-π/2
    2×atan(2.88133865238281)-π/2
    2×1.23674225065327-π/2
    2.47348450130654-1.57079632675     		φ = 0.90268817
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14266021} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.173828°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90268817 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.720222°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17128 KachelY 10865 0.14266021 0.90268817 8.173828 51.720222
    Oben rechts KachelX + 1 17129 KachelY 10865 0.14285196 0.90268817 8.184814 51.720222
    Unten links KachelX 17128 KachelY + 1 10866 0.14266021 0.90256938 8.173828 51.713416
    Unten rechts KachelX + 1 17129 KachelY + 1 10866 0.14285196 0.90256938 8.184814 51.713416
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90268817-0.90256938) × R
    0.000118790000000035 × 6371000     		dl = 756.811090000225m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90268817-0.90256938) × R
    0.000118790000000035 × 6371000     		dr = 756.811090000225m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14266021-0.14285196) × cos(0.90268817) × R
    0.000191749999999991 × 0.61950200895245 × 6371000     		do = 756.807969590127m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14266021-0.14285196) × cos(0.90256938) × R
    0.000191749999999991 × 0.619595254145754 × 6371000     		du = 756.921881578141m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90268817)-sin(0.90256938))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.61950200895245-0.619595254145754)×R²
    abs(0.14285196-0.14266021)×9.32451933038925e-05×R²
    0.000191749999999991×9.32451933038925e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.32451933038925e-05×40589641000000     		ar = 572803.769987897m²