Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17127 / 10837
↖ ↑ ↗
← N 51.910390°
E  8.162842°		 ← 753.58 m → N 51.910390°
E  8.173828°		 →
↑
753.63 m
↓
↑
753.63 m
↓
N 51.903613°
E  8.162842°		 ← 753.70 m →
567 961 m²		 N 51.903613°
E  8.173828°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17127 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10837 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.522689819335938 y=0.330734252929688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.522689819335938 × 215)
    floor (0.522689819335938 × 32768)
    floor (17127.5)     		tx = 17127
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.330734252929688 × 215)
    floor (0.330734252929688 × 32768)
    floor (10837.5)     		ty = 10837
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17127 / 10837 ti = "15/17127/10837"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17127/10837.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17127 ÷ 215
    17127 ÷ 32768     		x = 0.522674560546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10837 ÷ 215
    10837 ÷ 32768     		y = 0.330718994140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.522674560546875 × 2 - 1) × π
    0.04534912109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.14246847
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.330718994140625 × 2 - 1) × π
    0.33856201171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.06362392876981
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14246847} λ = 0.14246847}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.06362392876981))-π/2
    2×atan(2.89684996820468)-π/2
    2×1.2384017803302-π/2
    2.47680356066039-1.57079632675     		φ = 0.90600723
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14246847} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.162842°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90600723 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.910390°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17127 KachelY 10837 0.14246847 0.90600723 8.162842 51.910390
    Oben rechts KachelX + 1 17128 KachelY 10837 0.14266021 0.90600723 8.173828 51.910390
    Unten links KachelX 17127 KachelY + 1 10838 0.14246847 0.90588894 8.162842 51.903613
    Unten rechts KachelX + 1 17128 KachelY + 1 10838 0.14266021 0.90588894 8.173828 51.903613
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90600723-0.90588894) × R
    0.000118290000000076 × 6371000     		dl = 753.625590000487m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90600723-0.90588894) × R
    0.000118290000000076 × 6371000     		dr = 753.625590000487m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14246847-0.14266021) × cos(0.90600723) × R
    0.000191739999999996 × 0.616893155733739 × 6371000     		do = 753.581589837729m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14246847-0.14266021) × cos(0.90588894) × R
    0.000191739999999996 × 0.616986251196249 × 6371000     		du = 753.695312977617m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90600723)-sin(0.90588894))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.616893155733739-0.616986251196249)×R²
    abs(0.14266021-0.14246847)×9.30954625101288e-05×R²
    0.000191739999999996×9.30954625101288e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.30954625101288e-05×40589641000000     		ar = 567961.223251804m²