Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17126 / 12046
↖ ↑ ↗
← N 42.956423°
E  8.151856°		 ← 894.08 m → N 42.956423°
E  8.162842°		 →
↑
894.17 m
↓
↑
894.17 m
↓
N 42.948381°
E  8.151856°		 ← 894.20 m →
799 515 m²		 N 42.948381°
E  8.162842°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17126 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12046 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.522659301757812 y=0.367630004882812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.522659301757812 × 215)
    floor (0.522659301757812 × 32768)
    floor (17126.5)     		tx = 17126
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.367630004882812 × 215)
    floor (0.367630004882812 × 32768)
    floor (12046.5)     		ty = 12046
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17126 / 12046 ti = "15/17126/12046"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17126/12046.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17126 ÷ 215
    17126 ÷ 32768     		x = 0.52264404296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12046 ÷ 215
    12046 ÷ 32768     		y = 0.36761474609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.52264404296875 × 2 - 1) × π
    0.0452880859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.14227672
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.36761474609375 × 2 - 1) × π
    0.2647705078125 × 3.1415926535     		Φ = 0.831801082207214
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14227672} λ = 0.14227672}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.831801082207214))-π/2
    2×atan(2.2974529177219)-π/2
    2×1.16026366723677-π/2
    2.32052733447354-1.57079632675     		φ = 0.74973101
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14227672} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.151856°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.74973101 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 42.956423°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17126 KachelY 12046 0.14227672 0.74973101 8.151856 42.956423
    Oben rechts KachelX + 1 17127 KachelY 12046 0.14246847 0.74973101 8.162842 42.956423
    Unten links KachelX 17126 KachelY + 1 12047 0.14227672 0.74959066 8.151856 42.948381
    Unten rechts KachelX + 1 17127 KachelY + 1 12047 0.14246847 0.74959066 8.162842 42.948381
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.74973101-0.74959066) × R
    0.000140350000000011 × 6371000     		dl = 894.169850000072m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.74973101-0.74959066) × R
    0.000140350000000011 × 6371000     		dr = 894.169850000072m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14227672-0.14246847) × cos(0.74973101) × R
    0.000191750000000018 × 0.731872196410768 × 6371000     		do = 894.083801119188m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14227672-0.14246847) × cos(0.74959066) × R
    0.000191750000000018 × 0.731967829575444 × 6371000     		du = 894.200630346758m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.74973101)-sin(0.74959066))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.731872196410768-0.731967829575444)×R²
    abs(0.14246847-0.14227672)×9.563316467609e-05×R²
    0.000191750000000018×9.563316467609e-05×6371000²
    0.000191750000000018×9.563316467609e-05×40589641000000     		ar = 799515.012233127m²