Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17124 / 17370
↖ ↑ ↗
← S 10.768556°
E  8.129883°		 ← 1 200.13 m → S 10.768556°
E  8.140869°		 →
↑
1 200.11 m
↓
↑
1 200.11 m
↓
S 10.779348°
E  8.129883°		 ← 1 200.08 m →
1 440 252 m²		 S 10.779348°
E  8.140869°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17124 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17370 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.522598266601562 y=0.530105590820312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.522598266601562 × 215)
    floor (0.522598266601562 × 32768)
    floor (17124.5)     		tx = 17124
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.530105590820312 × 215)
    floor (0.530105590820312 × 32768)
    floor (17370.5)     		ty = 17370
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17124 / 17370 ti = "15/17124/17370"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17124/17370.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17124 ÷ 215
    17124 ÷ 32768     		x = 0.5225830078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17370 ÷ 215
    17370 ÷ 32768     		y = 0.53009033203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5225830078125 × 2 - 1) × π
    0.045166015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.14189322
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.53009033203125 × 2 - 1) × π
    -0.0601806640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.189063132101501
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14189322} λ = 0.14189322}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.189063132101501))-π/2
    2×atan(0.827734248442575)-π/2
    2×0.691424786135258-π/2
    1.38284957227052-1.57079632675     		φ = -0.18794675
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14189322} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.129883°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.18794675 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -10.768556°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17124 KachelY 17370 0.14189322 -0.18794675 8.129883 -10.768556
    Oben rechts KachelX + 1 17125 KachelY 17370 0.14208497 -0.18794675 8.140869 -10.768556
    Unten links KachelX 17124 KachelY + 1 17371 0.14189322 -0.18813512 8.129883 -10.779348
    Unten rechts KachelX + 1 17125 KachelY + 1 17371 0.14208497 -0.18813512 8.140869 -10.779348
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.18794675--0.18813512) × R
    0.000188369999999993 × 6371000     		dl = 1200.10526999996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.18794675--0.18813512) × R
    0.000188369999999993 × 6371000     		dr = 1200.10526999996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14189322-0.14208497) × cos(-0.18794675) × R
    0.000191750000000018 × 0.982389939387454 × 6371000     		do = 1200.12610876095m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14189322-0.14208497) × cos(-0.18813512) × R
    0.000191750000000018 × 0.982354726493609 × 6371000     		du = 1200.08309130772m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.18794675)-sin(-0.18813512))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.982389939387454-0.982354726493609)×R²
    abs(0.14208497-0.14189322)×3.52128938448937e-05×R²
    0.000191750000000018×3.52128938448937e-05×6371000²
    0.000191750000000018×3.52128938448937e-05×40589641000000     		ar = 1440251.85931131m²