Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17123 / 17374
↖ ↑ ↗
← S 10.811724°
E  8.118897°		 ← 1 199.89 m → S 10.811724°
E  8.129883°		 →
↑
1 199.91 m
↓
↑
1 199.91 m
↓
S 10.822515°
E  8.118897°		 ← 1 199.85 m →
1 439 741 m²		 S 10.822515°
E  8.129883°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17123 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17374 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.522567749023438 y=0.530227661132812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.522567749023438 × 215)
    floor (0.522567749023438 × 32768)
    floor (17123.5)     		tx = 17123
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.530227661132812 × 215)
    floor (0.530227661132812 × 32768)
    floor (17374.5)     		ty = 17374
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17123 / 17374 ti = "15/17123/17374"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17123/17374.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17123 ÷ 215
    17123 ÷ 32768     		x = 0.522552490234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17374 ÷ 215
    17374 ÷ 32768     		y = 0.53021240234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.522552490234375 × 2 - 1) × π
    0.04510498046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.14170148
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.53021240234375 × 2 - 1) × π
    -0.0604248046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.189830122495422
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14170148} λ = 0.14170148}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.189830122495422))-π/2
    2×atan(0.827099627630445)-π/2
    2×0.691048071341352-π/2
    1.3820961426827-1.57079632675     		φ = -0.18870018
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14170148} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.118897°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.18870018 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -10.811724°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17123 KachelY 17374 0.14170148 -0.18870018 8.118897 -10.811724
    Oben rechts KachelX + 1 17124 KachelY 17374 0.14189322 -0.18870018 8.129883 -10.811724
    Unten links KachelX 17123 KachelY + 1 17375 0.14170148 -0.18888852 8.118897 -10.822515
    Unten rechts KachelX + 1 17124 KachelY + 1 17375 0.14189322 -0.18888852 8.129883 -10.822515
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.18870018--0.18888852) × R
    0.000188340000000009 × 6371000     		dl = 1199.91414000006m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.18870018--0.18888852) × R
    0.000188340000000009 × 6371000     		dr = 1199.91414000006m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14170148-0.14189322) × cos(-0.18870018) × R
    0.000191739999999996 × 0.982248888053325 × 6371000     		do = 1199.89121583811m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14170148-0.14189322) × cos(-0.18888852) × R
    0.000191739999999996 × 0.98221354138068 × 6371000     		du = 1199.84803720739m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.18870018)-sin(-0.18888852))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.982248888053325-0.98221354138068)×R²
    abs(0.14189322-0.14170148)×3.53466726452645e-05×R²
    0.000191739999999996×3.53466726452645e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.53466726452645e-05×40589641000000     		ar = 1439740.53527709m²