Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17120 / 17098
↖ ↑ ↗
← S  7.819847°
E  8.085937°		 ← 1 210.28 m → S  7.819847°
E  8.096924°		 →
↑
1 210.30 m
↓
↑
1 210.30 m
↓
S  7.830732°
E  8.085937°		 ← 1 210.25 m →
1 464 780 m²		 S  7.830732°
E  8.096924°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17120 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17098 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.522476196289062 y=0.521804809570312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.522476196289062 × 215)
    floor (0.522476196289062 × 32768)
    floor (17120.5)     		tx = 17120
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.521804809570312 × 215)
    floor (0.521804809570312 × 32768)
    floor (17098.5)     		ty = 17098
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17120 / 17098 ti = "15/17120/17098"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17120/17098.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17120 ÷ 215
    17120 ÷ 32768     		x = 0.5224609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17098 ÷ 215
    17098 ÷ 32768     		y = 0.52178955078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5224609375 × 2 - 1) × π
    0.044921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.14112623
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.52178955078125 × 2 - 1) × π
    -0.0435791015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.13690778531488
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14112623} λ = 0.14112623}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.13690778531488))-π/2
    2×atan(0.87205063829948)-π/2
    2×0.717157121104054-π/2
    1.43431424220811-1.57079632675     		φ = -0.13648208
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14112623} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.085937°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.13648208 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -7.819847°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17120 KachelY 17098 0.14112623 -0.13648208 8.085937 -7.819847
    Oben rechts KachelX + 1 17121 KachelY 17098 0.14131798 -0.13648208 8.096924 -7.819847
    Unten links KachelX 17120 KachelY + 1 17099 0.14112623 -0.13667205 8.085937 -7.830732
    Unten rechts KachelX + 1 17121 KachelY + 1 17099 0.14131798 -0.13667205 8.096924 -7.830732
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.13648208--0.13667205) × R
    0.000189969999999984 × 6371000     		dl = 1210.2988699999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.13648208--0.13667205) × R
    0.000189969999999984 × 6371000     		dr = 1210.2988699999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14112623-0.14131798) × cos(-0.13648208) × R
    0.000191750000000018 × 0.990700769381963 × 6371000     		do = 1210.27894488232m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14112623-0.14131798) × cos(-0.13667205) × R
    0.000191750000000018 × 0.990674904423417 × 6371000     		du = 1210.24734723376m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.13648208)-sin(-0.13667205))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.990700769381963-0.990674904423417)×R²
    abs(0.14131798-0.14112623)×2.58649585465065e-05×R²
    0.000191750000000018×2.58649585465065e-05×6371000²
    0.000191750000000018×2.58649585465065e-05×40589641000000     		ar = 1464780.12248164m²