Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 17120 / 10465
↖ ↑ ↗
← N 76.556466°
W 85.957031°		 ← 142 m → N 76.556466°
W 85.951538°		 →
↑
142.01 m
↓
↑
142.01 m
↓
N 76.555189°
W 85.957031°		 ← 142.01 m →
20 166 m²		 N 76.555189°
W 85.951538°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17120 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10465 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.261238098144531 y=0.159690856933594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.261238098144531 × 216)
    floor (0.261238098144531 × 65536)
    floor (17120.5)     		tx = 17120
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.159690856933594 × 216)
    floor (0.159690856933594 × 65536)
    floor (10465.5)     		ty = 10465
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 17120 / 10465 ti = "16/17120/10465"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/17120/10465.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17120 ÷ 216
    17120 ÷ 65536     		x = 0.26123046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10465 ÷ 216
    10465 ÷ 65536     		y = 0.159683227539062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.26123046875 × 2 - 1) × π
    -0.4775390625 × 3.1415926535     		Λ = -1.50023321
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.159683227539062 × 2 - 1) × π
    0.680633544921875 × 3.1415926535     		Φ = 2.13827334445222
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.50023321} λ = -1.50023321}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.13827334445222))-π/2
    2×atan(8.48477469031629)-π/2
    2×1.45347936029585-π/2
    2.90695872059169-1.57079632675     		φ = 1.33616239
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.50023321} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -85.957031°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33616239 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.556466°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17120 KachelY 10465 -1.50023321 1.33616239 -85.957031 76.556466
    Oben rechts KachelX + 1 17121 KachelY 10465 -1.50013734 1.33616239 -85.951538 76.556466
    Unten links KachelX 17120 KachelY + 1 10466 -1.50023321 1.33614010 -85.957031 76.555189
    Unten rechts KachelX + 1 17121 KachelY + 1 10466 -1.50013734 1.33614010 -85.951538 76.555189
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33616239-1.33614010) × R
    2.22899999999804e-05 × 6371000     		dl = 142.009589999875m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33616239-1.33614010) × R
    2.22899999999804e-05 × 6371000     		dr = 142.009589999875m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.50023321--1.50013734) × cos(1.33616239) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.232486968202826 × 6371000     		do = 142.000196862662m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.50023321--1.50013734) × cos(1.33614010) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.232508647388179 × 6371000     		du = 142.013438243939m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33616239)-sin(1.33614010))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.232486968202826-0.232508647388179)×R²
    abs(-1.50013734--1.50023321)×2.16791853528686e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.16791853528686e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.16791853528686e-05×40589641000000     		ar = 20166.3299388905m²