Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 17119 / 49445
↖ ↑ ↗
← N 40.369566°
W132.981262°		 ← 232.70 m → N 40.369566°
W132.978516°		 →
↑
232.67 m
↓
↑
232.67 m
↓
N 40.367474°
W132.981262°		 ← 232.71 m →
54 143 m²		 N 40.367474°
W132.978516°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17119 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49445 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.130611419677734 y=0.377239227294922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.130611419677734 × 217)
    floor (0.130611419677734 × 131072)
    floor (17119.5)     		tx = 17119
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.377239227294922 × 217)
    floor (0.377239227294922 × 131072)
    floor (49445.5)     		ty = 49445
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 17119 / 49445 ti = "17/17119/49445"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/17119/49445.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17119 ÷ 217
    17119 ÷ 131072     		x = 0.130607604980469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49445 ÷ 217
    49445 ÷ 131072     		y = 0.377235412597656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.130607604980469 × 2 - 1) × π
    -0.738784790039062 × 3.1415926535     		Λ = -2.32096087
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.377235412597656 × 2 - 1) × π
    0.245529174804688 × 3.1415926535     		Φ = 0.771352651786324
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.32096087} λ = -2.32096087}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.771352651786324))-π/2
    2×atan(2.16268964218367)-π/2
    2×1.13768908860545-π/2
    2.27537817721091-1.57079632675     		φ = 0.70458185
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.32096087} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -132.981262°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.70458185 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 40.369566°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17119 KachelY 49445 -2.32096087 0.70458185 -132.981262 40.369566
    Oben rechts KachelX + 1 17120 KachelY 49445 -2.32091293 0.70458185 -132.978516 40.369566
    Unten links KachelX 17119 KachelY + 1 49446 -2.32096087 0.70454533 -132.981262 40.367474
    Unten rechts KachelX + 1 17120 KachelY + 1 49446 -2.32091293 0.70454533 -132.978516 40.367474
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.70458185-0.70454533) × R
    3.65199999999843e-05 × 6371000     		dl = 232.6689199999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.70458185-0.70454533) × R
    3.65199999999843e-05 × 6371000     		dr = 232.6689199999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.32096087--2.32091293) × cos(0.70458185) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.761882460516316 × 6371000     		do = 232.698514296064m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.32096087--2.32091293) × cos(0.70454533) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.761906114571185 × 6371000     		du = 232.705738853276m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.70458185)-sin(0.70454533))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.761882460516316-0.761906114571185)×R²
    abs(-2.32091293--2.32096087)×2.36540548688158e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.36540548688158e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.36540548688158e-05×40589641000000     		ar = 54142.552477869m²