Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 17119 / 15713
↖ ↑ ↗
← N 79.512162°
W132.981262°		 ← 55.60 m → N 79.512162°
W132.978516°		 →
↑
55.62 m
↓
↑
55.62 m
↓
N 79.511662°
W132.981262°		 ← 55.60 m →
3 092 m²		 N 79.511662°
W132.978516°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17119 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15713 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.130611419677734 y=0.119884490966797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.130611419677734 × 217)
    floor (0.130611419677734 × 131072)
    floor (17119.5)     		tx = 17119
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.119884490966797 × 217)
    floor (0.119884490966797 × 131072)
    floor (15713.5)     		ty = 15713
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 17119 / 15713 ti = "17/17119/15713"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/17119/15713.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17119 ÷ 217
    17119 ÷ 131072     		x = 0.130607604980469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15713 ÷ 217
    15713 ÷ 131072     		y = 0.119880676269531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.130607604980469 × 2 - 1) × π
    -0.738784790039062 × 3.1415926535     		Λ = -2.32096087
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.119880676269531 × 2 - 1) × π
    0.760238647460938 × 3.1415926535     		Φ = 2.38836014977006
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.32096087} λ = -2.32096087}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.38836014977006))-π/2
    2×atan(10.8956121132585)-π/2
    2×1.47927267158705-π/2
    2.9585453431741-1.57079632675     		φ = 1.38774902
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.32096087} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -132.981262°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38774902 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.512162°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17119 KachelY 15713 -2.32096087 1.38774902 -132.981262 79.512162
    Oben rechts KachelX + 1 17120 KachelY 15713 -2.32091293 1.38774902 -132.978516 79.512162
    Unten links KachelX 17119 KachelY + 1 15714 -2.32096087 1.38774029 -132.981262 79.511662
    Unten rechts KachelX + 1 17120 KachelY + 1 15714 -2.32091293 1.38774029 -132.978516 79.511662
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38774902-1.38774029) × R
    8.73000000001234e-06 × 6371000     		dl = 55.6188300000786m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38774902-1.38774029) × R
    8.73000000001234e-06 × 6371000     		dr = 55.6188300000786m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.32096087--2.32091293) × cos(1.38774902) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.182026811115207 × 6371000     		do = 55.5956734846658m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.32096087--2.32091293) × cos(1.38774029) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.182035395261115 × 6371000     		du = 55.5982953037821m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38774902)-sin(1.38774029))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.182026811115207-0.182035395261115)×R²
    abs(-2.32091293--2.32096087)×8.58414590845791e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.58414590845791e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.58414590845791e-06×40589641000000     		ar = 3092.23922349153m²