Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 17119 / 12831
↖ ↑ ↗
← N 80.859311°
W132.981262°		 ← 48.52 m → N 80.859311°
W132.978516°		 →
↑
48.48 m
↓
↑
48.48 m
↓
N 80.858875°
W132.981262°		 ← 48.52 m →
2 352 m²		 N 80.858875°
W132.978516°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17119 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12831 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.130611419677734 y=0.0978965759277344 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.130611419677734 × 217)
    floor (0.130611419677734 × 131072)
    floor (17119.5)     		tx = 17119
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0978965759277344 × 217)
    floor (0.0978965759277344 × 131072)
    floor (12831.5)     		ty = 12831
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 17119 / 12831 ti = "17/17119/12831"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/17119/12831.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17119 ÷ 217
    17119 ÷ 131072     		x = 0.130607604980469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12831 ÷ 217
    12831 ÷ 131072     		y = 0.0978927612304688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.130607604980469 × 2 - 1) × π
    -0.738784790039062 × 3.1415926535     		Λ = -2.32096087
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0978927612304688 × 2 - 1) × π
    0.804214477539062 × 3.1415926535     		Φ = 2.52651429447506
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.32096087} λ = -2.32096087}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.52651429447506))-π/2
    2×atan(12.5098244858842)-π/2
    2×1.49102876918645-π/2
    2.9820575383729-1.57079632675     		φ = 1.41126121
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.32096087} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -132.981262°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41126121 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.859311°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17119 KachelY 12831 -2.32096087 1.41126121 -132.981262 80.859311
    Oben rechts KachelX + 1 17120 KachelY 12831 -2.32091293 1.41126121 -132.978516 80.859311
    Unten links KachelX 17119 KachelY + 1 12832 -2.32096087 1.41125360 -132.981262 80.858875
    Unten rechts KachelX + 1 17120 KachelY + 1 12832 -2.32091293 1.41125360 -132.978516 80.858875
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41126121-1.41125360) × R
    7.60999999993572e-06 × 6371000     		dl = 48.4833099995905m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41126121-1.41125360) × R
    7.60999999993572e-06 × 6371000     		dr = 48.4833099995905m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.32096087--2.32091293) × cos(1.41126121) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.158859244031478 × 6371000     		do = 48.5197021641229m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.32096087--2.32091293) × cos(1.41125360) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.158866757389322 × 6371000     		du = 48.5219969370024m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41126121)-sin(1.41125360))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.158859244031478-0.158866757389322)×R²
    abs(-2.32091293--2.32096087)×7.51335784435203e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.51335784435203e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.51335784435203e-06×40589641000000     		ar = 2352.45139017765m²