Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17118 / 18088
↖ ↑ ↗
← S 18.396230°
E  8.063965°		 ← 1 159.15 m → S 18.396230°
E  8.074951°		 →
↑
1 159.14 m
↓
↑
1 159.14 m
↓
S 18.406655°
E  8.063965°		 ← 1 159.08 m →
1 343 575 m²		 S 18.406655°
E  8.074951°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17118 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18088 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.522415161132812 y=0.552017211914062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.522415161132812 × 215)
    floor (0.522415161132812 × 32768)
    floor (17118.5)     		tx = 17118
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.552017211914062 × 215)
    floor (0.552017211914062 × 32768)
    floor (18088.5)     		ty = 18088
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17118 / 18088 ti = "15/17118/18088"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17118/18088.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17118 ÷ 215
    17118 ÷ 32768     		x = 0.52239990234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18088 ÷ 215
    18088 ÷ 32768     		y = 0.552001953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.52239990234375 × 2 - 1) × π
    0.0447998046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.14074274
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.552001953125 × 2 - 1) × π
    -0.10400390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.326737907810303
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14074274} λ = 0.14074274}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.326737907810303))-π/2
    2×atan(0.721272758212392)-π/2
    2×0.624860770470272-π/2
    1.24972154094054-1.57079632675     		φ = -0.32107479
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14074274} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.063965°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.32107479 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -18.396230°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17118 KachelY 18088 0.14074274 -0.32107479 8.063965 -18.396230
    Oben rechts KachelX + 1 17119 KachelY 18088 0.14093448 -0.32107479 8.074951 -18.396230
    Unten links KachelX 17118 KachelY + 1 18089 0.14074274 -0.32125673 8.063965 -18.406655
    Unten rechts KachelX + 1 17119 KachelY + 1 18089 0.14093448 -0.32125673 8.074951 -18.406655
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.32107479--0.32125673) × R
    0.000181939999999992 × 6371000     		dl = 1159.13973999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.32107479--0.32125673) × R
    0.000181939999999992 × 6371000     		dr = 1159.13973999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14074274-0.14093448) × cos(-0.32107479) × R
    0.000191739999999996 × 0.948896776888081 × 6371000     		do = 1159.14909263129m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14074274-0.14093448) × cos(-0.32125673) × R
    0.000191739999999996 × 0.948839343355767 × 6371000     		du = 1159.07893323304m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.32107479)-sin(-0.32125673))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.948896776888081-0.948839343355767)×R²
    abs(0.14093448-0.14074274)×5.74335323135777e-05×R²
    0.000191739999999996×5.74335323135777e-05×6371000²
    0.000191739999999996×5.74335323135777e-05×40589641000000     		ar = 1343575.11928696m²