Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 17118 / 17364
↖ ↑ ↗
← S 10.703792°
E  8.063965°		 ← 1 200.32 m → S 10.703792°
E  8.074951°		 →
↑
1 200.36 m
↓
↑
1 200.36 m
↓
S 10.714587°
E  8.063965°		 ← 1 200.28 m →
1 440 791 m²		 S 10.714587°
E  8.074951°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17118 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17364 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.522415161132812 y=0.529922485351562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.522415161132812 × 215)
    floor (0.522415161132812 × 32768)
    floor (17118.5)     		tx = 17118
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.529922485351562 × 215)
    floor (0.529922485351562 × 32768)
    floor (17364.5)     		ty = 17364
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17118 / 17364 ti = "15/17118/17364"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17118/17364.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17118 ÷ 215
    17118 ÷ 32768     		x = 0.52239990234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17364 ÷ 215
    17364 ÷ 32768     		y = 0.5299072265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.52239990234375 × 2 - 1) × π
    0.0447998046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.14074274
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5299072265625 × 2 - 1) × π
    -0.059814453125 × 3.1415926535     		Φ = -0.18791264651062
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14074274} λ = 0.14074274}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.18791264651062))-π/2
    2×atan(0.828687092780228)-π/2
    2×0.691989959491833-π/2
    1.38397991898367-1.57079632675     		φ = -0.18681641
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14074274} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.063965°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.18681641 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -10.703792°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17118 KachelY 17364 0.14074274 -0.18681641 8.063965 -10.703792
    Oben rechts KachelX + 1 17119 KachelY 17364 0.14093448 -0.18681641 8.074951 -10.703792
    Unten links KachelX 17118 KachelY + 1 17365 0.14074274 -0.18700482 8.063965 -10.714587
    Unten rechts KachelX + 1 17119 KachelY + 1 17365 0.14093448 -0.18700482 8.074951 -10.714587
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.18681641--0.18700482) × R
    0.00018841 × 6371000     		dl = 1200.36011m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.18681641--0.18700482) × R
    0.00018841 × 6371000     		dr = 1200.36011m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14074274-0.14093448) × cos(-0.18681641) × R
    0.000191739999999996 × 0.982600506968399 × 6371000     		do = 1200.32074490417m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14074274-0.14093448) × cos(-0.18700482) × R
    0.000191739999999996 × 0.98256549582916 × 6371000     		du = 1200.27797615285m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.18681641)-sin(-0.18700482))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.982600506968399-0.98256549582916)×R²
    abs(0.14093448-0.14074274)×3.50111392387609e-05×R²
    0.000191739999999996×3.50111392387609e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.50111392387609e-05×40589641000000     		ar = 1440791.47669889m²