Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 17118 / 15778
↖ ↑ ↗
← N 79.479615°
W132.984009°		 ← 55.77 m → N 79.479615°
W132.981262°		 →
↑
55.75 m
↓
↑
55.75 m
↓
N 79.479114°
W132.984009°		 ← 55.77 m →
3 109 m²		 N 79.479114°
W132.981262°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17118 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15778 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.130603790283203 y=0.120380401611328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.130603790283203 × 217)
    floor (0.130603790283203 × 131072)
    floor (17118.5)     		tx = 17118
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.120380401611328 × 217)
    floor (0.120380401611328 × 131072)
    floor (15778.5)     		ty = 15778
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 17118 / 15778 ti = "17/17118/15778"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/17118/15778.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17118 ÷ 217
    17118 ÷ 131072     		x = 0.130599975585938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15778 ÷ 217
    15778 ÷ 131072     		y = 0.120376586914062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.130599975585938 × 2 - 1) × π
    -0.738800048828125 × 3.1415926535     		Λ = -2.32100881
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.120376586914062 × 2 - 1) × π
    0.759246826171875 × 3.1415926535     		Φ = 2.38524425129475
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.32100881} λ = -2.32100881}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.38524425129475))-π/2
    2×atan(10.8617153289814)-π/2
    2×1.47898864818577-π/2
    2.95797729637154-1.57079632675     		φ = 1.38718097
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.32100881} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -132.984009°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38718097 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.479615°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17118 KachelY 15778 -2.32100881 1.38718097 -132.984009 79.479615
    Oben rechts KachelX + 1 17119 KachelY 15778 -2.32096087 1.38718097 -132.981262 79.479615
    Unten links KachelX 17118 KachelY + 1 15779 -2.32100881 1.38717222 -132.984009 79.479114
    Unten rechts KachelX + 1 17119 KachelY + 1 15779 -2.32096087 1.38717222 -132.981262 79.479114
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38718097-1.38717222) × R
    8.74999999989079e-06 × 6371000     		dl = 55.7462499993042m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38718097-1.38717222) × R
    8.74999999989079e-06 × 6371000     		dr = 55.7462499993042m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.32100881--2.32096087) × cos(1.38718097) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.182585341627951 × 6371000     		do = 55.7662630798331m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.32100881--2.32096087) × cos(1.38717222) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.182593944533536 × 6371000     		du = 55.7688906286377m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38718097)-sin(1.38717222))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.182585341627951-0.182593944533536)×R²
    abs(-2.32096087--2.32100881)×8.60290558549193e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.60290558549193e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.60290558549193e-06×40589641000000     		ar = 3108.83328132868m²