Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 17117 / 15773
↖ ↑ ↗
← N 79.482122°
W132.986755°		 ← 55.74 m → N 79.482122°
W132.984009°		 →
↑
55.75 m
↓
↑
55.75 m
↓
N 79.481621°
W132.986755°		 ← 55.74 m →
3 107 m²		 N 79.481621°
W132.984009°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17117 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15773 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.130596160888672 y=0.120342254638672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.130596160888672 × 217)
    floor (0.130596160888672 × 131072)
    floor (17117.5)     		tx = 17117
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.120342254638672 × 217)
    floor (0.120342254638672 × 131072)
    floor (15773.5)     		ty = 15773
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 17117 / 15773 ti = "17/17117/15773"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/17117/15773.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17117 ÷ 217
    17117 ÷ 131072     		x = 0.130592346191406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15773 ÷ 217
    15773 ÷ 131072     		y = 0.120338439941406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.130592346191406 × 2 - 1) × π
    -0.738815307617188 × 3.1415926535     		Λ = -2.32105674
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.120338439941406 × 2 - 1) × π
    0.759323120117188 × 3.1415926535     		Φ = 2.38548393579285
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.32105674} λ = -2.32105674}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.38548393579285))-π/2
    2×atan(10.8643190257889)-π/2
    2×1.47901052704576-π/2
    2.95802105409152-1.57079632675     		φ = 1.38722473
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.32105674} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -132.986755°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38722473 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.482122°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17117 KachelY 15773 -2.32105674 1.38722473 -132.986755 79.482122
    Oben rechts KachelX + 1 17118 KachelY 15773 -2.32100881 1.38722473 -132.984009 79.482122
    Unten links KachelX 17117 KachelY + 1 15774 -2.32105674 1.38721598 -132.986755 79.481621
    Unten rechts KachelX + 1 17118 KachelY + 1 15774 -2.32100881 1.38721598 -132.984009 79.481621
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38722473-1.38721598) × R
    8.75000000011283e-06 × 6371000     		dl = 55.7462500007189m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38722473-1.38721598) × R
    8.75000000011283e-06 × 6371000     		dr = 55.7462500007189m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.32105674--2.32100881) × cos(1.38722473) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.182542317058368 × 6371000     		do = 55.741492497881m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.32105674--2.32100881) × cos(1.38721598) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.182550920033859 × 6371000     		du = 55.744119519941m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38722473)-sin(1.38721598))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.182542317058368-0.182550920033859)×R²
    abs(-2.32100881--2.32105674)×8.60297549104549e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.60297549104549e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.60297549104549e-06×40589641000000     		ar = 3107.45239967181m²