Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17117 / 12056
↖ ↑ ↗
← N 42.875964°
E  8.052979°		 ← 895.25 m → N 42.875964°
E  8.063965°		 →
↑
895.25 m
↓
↑
895.25 m
↓
N 42.867913°
E  8.052979°		 ← 895.37 m →
801 529 m²		 N 42.867913°
E  8.063965°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17117 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12056 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.522384643554688 y=0.367935180664062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.522384643554688 × 215)
    floor (0.522384643554688 × 32768)
    floor (17117.5)     		tx = 17117
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.367935180664062 × 215)
    floor (0.367935180664062 × 32768)
    floor (12056.5)     		ty = 12056
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17117 / 12056 ti = "15/17117/12056"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17117/12056.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17117 ÷ 215
    17117 ÷ 32768     		x = 0.522369384765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12056 ÷ 215
    12056 ÷ 32768     		y = 0.367919921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.522369384765625 × 2 - 1) × π
    0.04473876953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.14055099
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.367919921875 × 2 - 1) × π
    0.26416015625 × 3.1415926535     		Φ = 0.829883606222412
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14055099} λ = 0.14055099}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.829883606222412))-π/2
    2×atan(2.29305182776657)-π/2
    2×1.15956153516549-π/2
    2.31912307033098-1.57079632675     		φ = 0.74832674
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14055099} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.052979°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.74832674 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 42.875964°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17117 KachelY 12056 0.14055099 0.74832674 8.052979 42.875964
    Oben rechts KachelX + 1 17118 KachelY 12056 0.14074274 0.74832674 8.063965 42.875964
    Unten links KachelX 17117 KachelY + 1 12057 0.14055099 0.74818622 8.052979 42.867913
    Unten rechts KachelX + 1 17118 KachelY + 1 12057 0.14074274 0.74818622 8.063965 42.867913
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.74832674-0.74818622) × R
    0.000140519999999977 × 6371000     		dl = 895.252919999856m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.74832674-0.74818622) × R
    0.000140519999999977 × 6371000     		dr = 895.252919999856m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14055099-0.14074274) × cos(0.74832674) × R
    0.000191750000000018 × 0.732828402922542 × 6371000     		do = 895.251940525078m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14055099-0.14074274) × cos(0.74818622) × R
    0.000191750000000018 × 0.732924007392172 × 6371000     		du = 895.368734697653m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.74832674)-sin(0.74818622))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.732828402922542-0.732924007392172)×R²
    abs(0.14074274-0.14055099)×9.56044696296399e-05×R²
    0.000191750000000018×9.56044696296399e-05×6371000²
    0.000191750000000018×9.56044696296399e-05×40589641000000     		ar = 801529.195371247m²